黑龙江省伊春市伊美区第二中学2024-2024学年高二数学上学期期末
考试试题 理
（考试时间120分钟，满分150分）
一选择题（每小题5分，共60分）
1. 复数z?(m?3)?(m?1)i(m?R)在复平面内对应的点在第二象限的充要条件是m?（ ）
， B (?1，3) C (1,+?) D (-?，?3) A (?31)2．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.给出下列四个命题：
①“0＜x＜2”是“x＜2”成立的必要不充分条件
②命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＞0”
④如果命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；其中为真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )
A．6 B．－2 C．－6 D．2 5．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 C．x＋y－1＝0
B．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
6．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A．1 B．2 C.2
2
2
D．22
7．直线l过点(－2，0)，l与圆x＋y＝2x有两个交点时，斜率k的取值范围是( )
A．(－22，22) B．(－2，2) 22???C.?－4，4??
?11?
?D.??－8，8?
8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
53325443A．－3或－5 B．－2或－3 C．－4或－5 D．－3或－4 9．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( )
A．4 B．42 C．32 D．23
x2y2
10．如果方程a2＋a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a＞3 B．a＞3或－6＜a＜－2 C．a＞3或a＜－2
2
2
D．a＜－2
11．已知双曲线kx－y＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是（ ）
53
A.2 B.2 C.3 D.5
12．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝( )
30
A.12 B．6 C．3 D．73 二．填空题 （每小题5分，共20分）
13.若a,b?R，i为虚数单位，且(a?i)?i?b?i，则a?b? 。 214．命题p ：?x0?R,x0?2x0?4?0的否定┓p ：_____________________。
15．已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a=________。
16．已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________。 三．解答题 （共70分）
17．(本小题满分10分)已知直线l的方程为y?x?4,圆C的参数方程为?为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线l与圆C的交点的极坐标；
(2) 若P为圆C上的动点,求P到直线l的距离d的最大值. 18．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程：?ρ＝2 sinθ
(1)将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点M（1,3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值。
2
2
?x?2cos?(?y?2?2sin???x?t (t为参数)和圆C的极坐标方程：
?y?1?2t19．(本小题满分12分)已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0，
(1)若b＝0，且l1⊥l2，求实数a的值；
(2)当b＝3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
20．(本小题满分12分)椭圆的两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，且椭圆经过点3??5
?2，－2?. ??
(1)求椭圆标准方程；
(2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率．
6x2y221．(本小题满分12分)已知椭圆G：2?2＝1(a>b>0)的离心率为3，右焦点为(22，
ab0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程； (2)求△PAB的面积．
22．(本小题满分12分)过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程．
(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB？并说明理由．
高二理科答案 BACCD CCDBB AA
13 2 14. ?x?R,x?2x?4?0 15.0或1 16. 4 17.(本小题满分10分)
解：（1）直线l:y?x?4,圆C:x2??y?2??4, ……………1分
22??x??2?x?0?y?x?4联立方程组?2,解得?或?, ……………3分 2y?4y?2????x??y?2??4对应的极坐标分别为?22,??3?4?????,?4,? ……………5分 ??2?（2）[方法1]设P?2cos?,2?2sin??,则
d?2cos??2sin??22?2???2cos?????1,
4??当cos?????????1时,d取得最大值2?2 …………………10分 4?[方法2]圆心C?0,2?到直线l的距离为22?2,圆的半径为2,
所以P到直线l的距离d的最大值为2?2 …………10分
1，圆C的直角坐标方程为x2?(y?1)2?1 18.（1）直线的普通方程为y＝2x＋ （2）25
1， 【解析】(1)消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x＋将??2sin?两边同乘以?得?2?2?sin?，x2?(y?1)2?1
?圆C的直角坐标方程为x2?(y?1)2?1 ……5分
?5x?1?t??x?t?5?t为参数? 法一：经检验点M（1,3）在直线l上，?可转化为 ?y?1?2t25??y?3?t?5?① ……7分
??5??2522???t???t?2?将①式代入圆C的直角坐标方程为x?(y?1)?1得1????1化简得55????t2?25t?4?0
设t1,t2是方程 t2?25t?4?0 的两根，则t1?t2??25,t1t2?4
22?t1t2?4?0?t1与t2同号
由 t的几何意义得|MA|+|MB|=t1?t2?t1?t2?25 ……12分 法二：?圆C：x2?(y?1)2?1 ?圆心C（0,1），半径R=1
1上，且点M（1,3）也在圆上 圆心C（0,1）在直线y＝2x＋圆心C（0,1）与M（1,3） 间的距离为:MC?(0?1)2?(1?3)2?5
所以|MA|+|MB|=|MC|+R+|MC|-R=2|MC|=25 ……12分
19. (1)当b＝0时，直线l1的方程为ax＋1＝0，由l1⊥l2，知a－2＝0，解得a＝2.
??a－3（a－2）＝0，
(2)当b＝3时，直线l1的方程为ax＋3y＋1＝0，当l1∥l2时，有?解得?3a－1≠0，?
a＝3，
此时，直线l1的方程为3x＋3y＋1＝0， 直线l2的方程为x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0. |1－9|42
故所求距离为d＝9＋9＝3. x2y2
20.(1)设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，
则2a＝
?5?2?3?2?2＋2?＋?－2?＋????
x2
y2
?5?2?3?2
?2－2?＋?－2?＝210，即a＝10， ????
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 故椭圆的标准方程为10＋6＝1.
10
(2)由(1)得：椭圆的长轴长为210，短轴长为26，离心率e＝10＝5.
2
c6
21.(1)由已知得c＝22，a＝3.解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4.
x2
y2
所以椭圆G的方程为12＋4＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m.
y＝x＋m，??22由?xy得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.① ??12＋4＝1，
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1 x1＋x2 则x0＝ 23mm＝－4，y0＝x0＋m＝4； 因为AB是等腰△PAB的底边， m2－4 所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝3m＝－1.解得m＝2. －3＋4此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0. 所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32. |－3－2＋2|32 此时点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝2， 2
黑龙江省伊春市伊美区第二中学2024学年高二数学上学期期末考试试题理
