www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台2001年北京市第16届“迎春杯”数学竞赛试题及详解队际交流试题一、填空题1．观察图形，图中共有个三角形。【答案】44【解析】依三角形大小分类进行统计：(1)最小的(2)型的，共由16个。型的，也共有16个。（3）型的，共有8个。（4）型的，共有4个。(注意，数三角形时，不要漏掉不同形态的三角形，如“总共:16?16?8?4?44(个)。”也是第(2)类的)2．已知当x?1时，代数式3ax?2bx?4的值为8，ax?bx?15的值为?14，那么当x??1时，代数式33
5ax2?4bx?6的值为【答案】20。1/11www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台33
???3ax?2bx?4?8?3ax?2bx?4??(1)
【解析】因为?3，得到?3
???ax?bx?15??14?ax?bx?1???(2)
将a,b看成未知数，(1)?2?(2)，得ax3?2，将x?1代入，得a?2。(1)?3?(2)，得bx?1，将x?1代入，得b?1。所以5ax?4bx?6?10x?4x?6。当x??1时，上式?10?(?1)?4?(?1)?6?10?4?6?20。2
2
2
3．如图，A是直线上的一个点，请你在A点的右侧每隔l厘米取一个点，共取三个点，那么：(1)用B，C，D三个字母任意标在所取的三个点上，一共有(2)在每种标法中，AB?BC?CD的长度与AD的长度的比分别是【答案】（1）6；（2）1:1或2:1或5:3或3:1或5：1或5:1【解析】(1)用三个字母标三个点，是p3?3!?6(种)，3
种不同的标法。。具体说，共有三个点，第一个点有3种标法，标完后，第二个点只能在剩下两个字母中选一个，有2种标法，第三个点则只有1种标法，共3?2?1?6(种)。(2)将六种不同标法作出：则六种情况中，(AB?BC?CD):AD分别为:(a)(1?1?1):3?1:1，2/11www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台(b)(1?2?1):2?2:1，(c)(2?1?2):3?5:3，(d)(3?2?1):2?3:1，(e)(2?1?2):1?5:1，(f)(3?1?1):1?5:1。故答案为1:1或2:1或5:3或3:1或5:1或5:1。4．已知|x|?5，|y|?1，那么||x?y|?|x?y||?【答案】2。【解析】这道题目可以对x，y的取值进行分类讨论求解，不过，这里介绍一种与几何相联系的解法：首先，应知道：|a?b|指数轴上a点到b点距离的长度。那么||x?y|?|x?y||可以写作||x?y|?|x?(?y)||。y与?y是1或?1。在数轴上：无论x是A与A?(即5或?5)．它到B与B?的距离差是?2(无论y?1或y??1)。当看清楚这一点以后，根据绝对值的的几何意义：原式=x?y?x?y?x?y?x?(?y)??2?2。【评注】这种解法较为直观、简洁。5．国家规定个人在储蓄所储存人民币所得的利息需要纳税，税率为20％(即存款到期后，所得利息要纳20%的税)。3/11www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台(1)李明于2000年2月4日存入一年期定期存款8000元，年利率为2.25％，一年后到期，扣除利息税后，银行应向李明支付本金和利息共元。(2)张红取出一年期定期存款的本金和利息时(年利率为2.25%)，交纳了税金54元，那么张红存入的本金是元。【答案】(1)8144；（2）12000【解析】需要知道年利率，利息，利息税的计算关系。年利率=2.25％。年利息=本金×年利率×时间(年)。利息税=年利息×税率(20％)。最后可得本利和=本金＋年利息－利息税。则(1)最后本利和?8000?8000?2.25%?1?8000?2.25%?1?20%?8144(元)。(2)初始的本金?54?20%?2.25%?12000(元)。6．如果?AOB?31.5?，?BOC?24.3?，?AOD??15?，那么锐角?COD的度数为。【答案】70.8?或40.8?或22.2?或7.8?。【解析】（1）?COD??DOA??AOB??BOC?15??31.5??24.3??70.8?；（2）?COD??AOB??BOC??AOD?31.5??24.3??15??40.8?；4/11www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（3）?COD??AOB??AOD??BOC?31.5??15??24.3??22.2?；（4）?COD??AOD??BOC??AOB?15??24.3??31.5??7.8?。【评注】借助于几何直观的方法，对于处理这类多情况问题并非是惟一的途径．计算如下式子:?COD?|?COB?BOA?AOD|，同样可以得到相同的答案，观察上式中各角边的关系，解得出什么时候结论?7．某车间接到一项紧急生产任务，需要一个人用一台新的设备连续工作．现有甲、乙、丙、丁四位工人可以单独操作这台设备，甲单独完成需要24小时，乙单独完成需要16小时，丙单独完成需要18小时，丁单独完成需要20小时，为了保证质量，每位工人操作1小时以后，要求休息3个小时，那么最快需要【答案】18
小时才能完成这项任务。31
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【解析】按题意，四个人需要轮流工作，为求最快速度，应该按工作效率由快至慢安排，顺序为1乙2丙3丁4甲5乙6丙??那么，一个循环内的工作量为：而4?
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?5。1517201111151????。16182024720在5个循环内可结束工作。5/11
2001年北京市第16届“迎春杯”数学竞赛试题及详解【圣才出品】
