专题三 压轴解答题
以数列与不等式相结合的综合问题
【名师综述】
数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．
类型一 求数列中的最值问题
典例1 已知数列?an?是递增的等差数列， a2?3， a1， a3?a1， a8?a1成等比数列. （1）求数列?an?的通项公式； （2）若bn?336，数列?bn?的前n项和Sn，求满足Sn?的最小的n的值. anan?125【解析】（1）设?an?的公差为d（d?0），由条件得{a1?2a1?7d??( ，∴{2a1?d?3d?0a1?1 d?2∴an?1?2?n?1??2n?1. （2）bn?333?11??? ??? anan?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?1
∴Sn?由
3?11111?3n1????L???. ??2?3352n?12n?1?2n?13n36得n?12. ?2n?12536∴满足Sn?的最小值的n的值为13
25【名师指点】求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用等差数列或等差数列的特征来求． 【举一反三】 已知数列?an?中， a1?1,an?1?（Ⅰ）求?an?的通项公式an； （Ⅱ）数列?bn?满足bn?3n?1?ann?N*．
an?3????n?an，数列?bn?的前n项和为Tn， 若不等式2n??1?n??Tn?n对一切n?N*恒成立，求?的取值范围． n?12an?n?N*?， an?3【解析】（Ⅰ）证明：由an?1?得
a?331?n??1， an?1anan??11?11??3??? an?12?an2??11??11?3??是以3为公比，以????为首项的等比数列，
?a12?2?an2?所以数列?从而
113n?12???3?an?n； an223?1（Ⅱ）bn?n n?1211111Tn?1?0?2?1?3?2?L??n?1??n?2?n?n?1
22222Tn1111?1?1?2?2?L??n?1??n?1?n?n， 两式相减得 22222
2
Tn11111n?2?0?1?2?L?n?1?n?n?2?n 2222222n?2?Tn?4?n?1
22n???1???4?n?1
22若n为偶数，则???4?n?1,???3
22若n为奇数，则????4?n?1,???2,???2
2??2???3
类型二 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
典例2 已知?an?为等差数列，且a2?4，其前8项和为52， ?bn?是各项均为正数的等比数列，且满足b1?b2?a4， b3?a6. （1）求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）令cn?log2bnan?，数列?cn?的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有anlog2bnTn?2n??成立，求实数?的取值范围.
【解析】
（1）设等差数列?an?的公差为d， 由题意得{a1?d?48a1?28d?52 ，
，即{a1?3d?42a1?7d?13 ，
解得{a1?3d?1所以an?3??n?1??n?2．
设各项均为正数的等比数列?bn?的公比为q， 则有{b1?b2?a4?6b3?a6?8 ，解得{b1?2q?2 ，
3
数学专题三 以数列与不等式相结合的综合问题为解答题
