第五张 刚体力学
平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受
到创造的乐趣.走过这遭,也许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.
【要点分析与总结】
1 刚体的运动
（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A为基点）
?r??rrrA???r?
ar?ard??r?rr??rrrA?dt??????r??
（2）刚体内的瞬心S：rrr1s?rA??2??r??rA? 〈析〉?r为基点转动的矢量和，?r??rr1??2?L
rr?rrrA?r?
?r?drrdt ?drrrdt?dt??r?d*rrAdr??dt??r?rr???rrrAA???r? ar?d?rd?rrrAd???r?rrdt?dt??dt??r????r??
值得注意的是：有转动时rr?与?r?rr?的微分，引入了?r???r?rr??项。
2 刚体的动量，角动量，动能
（1）动量：Pr?m?rc
?r?rr?与
?Lx?r?Jxxrrr??rr?????Jyx（2）角动量： L??ri?mi?i??Ly??Jg??J?L??zx?z??JxyJyy?Jzy?Jxz???x?????Jyz???y?
??Jzz????z? 式中：
?Jxx??y2?z2?dm??22 转动惯量??Jyy???z?x?dm
?Jzz???x2?y2?dm???Jxx?xydm??? 惯量积?Jyy??yzdm
?J?zxdm??zz?rrrr? ?c?Lc 且L?rc?m
* el方向（以l为轴）的转动惯量：
???rrrrrr??J?elgJgel???,?,??J???
?????r
?Jxx?2?Jyy?2?Jzz?2?2Jyz???2Jzx???2Jxy??r
（?,?,?分别为el与x,y,z轴夹角的余弦） * 惯量主轴
惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线
若X轴为惯量主轴，则含X的惯量积为0，即: Jxy?Jxz?0
rrrr 若x,y,z轴均为惯量主轴，则:L?Jxxi?Jyyj?Jzzk
〈析〉建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，这样会降低解题繁度。
rrr1111r222?? (3) 动能：T?m?c??mi?i?m?c??gJcg2222i
1211 * 平面平行运动: T?m?c2?Jc?2
22 * 定轴转动时: T?J?2
3刚体的动力学方程
与质点动力学方程相同。
r〈析〉求角动量L时，须注意： rr&rg? L?J??x?r??& ?J??y?
????z?r ???Jyx?x?Jyy?y?Jyz?z?j
r???Jzx?x?Jzy?y?Jzz?z?kr??Jxx?x?Jxy?y?Jxz?z?i4 刚体的定轴转动:
rrr&ez ???ez??rrrrr&r???Jzx?i?Jyz?j?Jzz?k L?Jg T?J?2
rd2rcr?e? 质心定理: m2?F
dtrr?e?dL 角动量定理:?M
dt12〈析〉须注意外力与外力矩包括轴对物体作用 5 刚体的平面平行运动 T?m?c2?rd?cr?F dtdL&&?Mz z?J?dt121J?2 26 刚体的定点运动
（1） 基本方程（以惯量主轴为坐标轴）
rrrrr&rL?Jg??Lxi?Lyj?Lzk rr?rrdLdL???L ?dtdtrrrrrr&&& Lxi?Lyj?Lzk???LM
rrd2rcr&& 质心定理： m2?mrc?F dt 机械能守恒：
r〈析〉 ?为活动坐标系绕固定坐标系的转速 rdirr 则有：???i
dt1Jxx?x2?Jyy?y2?Jzz?z2??V?E ?2rrdLxd?Lxi?如： ?dtdtrrdLdi ?xi?Lx
dtdtrrr&?Lxi?Lx??i rrr&?Lxi???Lx
（2）欧拉方程（活动坐标系随刚体自旋）
rrrrrdLd?L???L?M ?dtdt写成分量形式：
&??J?J????M?Jx?xyzyzx?&??J?J????M ??Jy?yzxzxy?&??Jz?z??Jx?Jy??x?y?Mzr&?0可导出 ????const可以解释地球的纬〈析〉M?0时，Jz?zz度变迁。
（3）对称重陀螺的定点运动（活动坐标系不随刚体自旋） 三个角速度：
&k 自旋： ?r
&e? 进动： ?rr&章动： ?i
rrr&&&总角速度：???i??e???k
rrrr&&&& ??i??sin?j???cos????k &??x???&即 ??y?? sin??&&cos?????z??由于对称；Jx?Jy?J?
rr?rrdLdL???L 代入 ?dtdtrrr?M?lk???mge??
r?mglsin?i
&&&?Jx?x?Jx?y?cos??Jz?z?sin??mglsin??&&&可得：?J?? y?Jx?x?cos??Jz?z??0?&?Jz?z?0rrrr&&&&代入： ???i??sin?j???cos????k
&?? &可整理出；?cos???
J?&J2&?2??sin2??z?2?mglcos??E 22??2&sin2??Jz?cos??S J??2??s?Jz?cos??2J2?J??&z?????mglcos?? E?222???2J?sin??2J??&?U??? ?2
陈世民理论力学简明教程(第二版)答案第五张-刚体力学
