【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.3.1几何概型练习 新人教A版
必修3
基础巩固
一、选择题
1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( )
[答案] A 3
[解析] P(A)＝，
8
P(B)＝＝，
π1－
4π
P(C)＝＝1－，
14
2163
P(D)＝.
则P(A)最大，故选A.
2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )
1
A. 41C. 3[答案] B
[解析] 设事件A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得πRP(A)＝
2R2
2
1π
B.D.
π4
π3
ππ＝，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为. 2
44
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是( ) 1
A. 3
1B. 6
1
1C. 2[答案] B
[解析] 体积型几何概型问题．
1D. 4
VA1－ABC1P＝＝. VABCD－A1B1C1D16
4.如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高
32为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
1A. 125C. 12[答案] C [解析] S矩形＝ab.
1B. 4D.7 12
aa??S梯形＝?a＋a?b＝ab. 2?32?12
故所投的点落在梯形内部的概率为
5ab12
1115
S梯形5P＝＝＝. S矩形ab12
5．(2015·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )
πA. 4πC. 20[答案] A
[解析] 设在[0,1]内取出的数为a，b，若a＋b也在[0,1]内，则有0≤a＋b≤1. 如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a1π41π
在[0,1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.
414
6．在面积S为△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
41A. 43C. 4[答案] C
2
2
2
2
2
2
B.D.
π 10π 40
＋b2
S1B. 22D. 3
1
[解析] 如图，设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝|AB|·h，S△PBC211S|PB|·h.又因为S△PBC>S△ABC，所以|PB|>|AB|，故△PBC的面积大于的概444
二、填空题
＝
1
2
3率是. 4
7．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为________．
[分析] 解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可． 1
[答案] 3
1
[解析] 由题意，得0＜a＜，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－1＜0”发生
31
的概率为.
3
8．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”．那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．
[答案]
1 27
[解析] 棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几1
何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为.
27
三、解答题
9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． 亮红灯的时间302(1)P＝＝＝；
全部时间30＋40＋55亮黄灯的时间51
(2)P＝＝＝；
全部时间7515
不是红灯亮的时间黄灯或绿灯亮的时间453
(3)P＝＝＝＝.
全部时间全部时间755
10．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
3
[分析] 海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概型概率公式求解．
[解析] 如下图，该区域是长30 m、宽20 m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m\\”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的面积为30×20＝600(m)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m)，所以P(A)＝≈0.31.
[点评] 解决此类题的关键：
(1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型； (2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)．
能力提升
一、选择题
1．(2015·东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( )
A. 16C. 4[答案] B
[解析] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心，1为半径1π的圆内，所以所求的概率为. 48
2．(2015·虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为( )
A. 2C．1－
6[答案] B
[解析] 作出满足题意的区域如右图，则由几何概型的知识得，所求概
率P2
2
18423
＝60075
ππB.D.
π8
π2
πB．1－ 12
πππD．1－ 3
4
112×3×4－π×122π＝＝1－. 112×3×42
3．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢24
在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，
25则河宽为( )
A．16 m C．8 m [答案] B
[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率24111
为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为500×＝20(m)． 25252525
B．20 m D．10 m
x≤0，??
4．(2014·湖北，理7)由不等式组?y≥0，
??y－x－2≤0
??x＋y≤1，
???x＋y≥－2
确定的平面区域记为Ω1，不等式组
确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
1
B. 47D. 8
1A. 83C. 4[答案] D
1
[解析] 如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S△AOM＝
2×2×2＝2.
Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S阴＝SΩ1－S△ABC＝2－
17×1×＝.
24
12
7S阴47
由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P＝＝＝.故选D.
SΩ128二、填空题
5．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
5
人教A版高中数学必修3第三章 概率3.3 几何概型习题(1)
