[A 基础达标]
1．设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| C．(a－b)⊥b
解析：选C.因为a＝(2，0)，b＝(1，1)， 所以|a|＝2，|b|＝2，故|a|≠|b|，A错误； a·b＝(2，0)·(1，1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；
因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1，1)＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确． 因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误．
2．已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) 9
A．－
2C．3
B．0 15D. 21
B．a·b＝
2D．a∥b
解析：选C.因为a＝(k，3)，b＝(1，4)，所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2，1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C.
3．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( ) A．直角三角形 C．钝角三角形
B．锐角三角形 D．等边三角形
→→→→→解析：选A.由题设知AB＝(8，－4)，AC＝(2，4)，BC＝(－6，8)，所以AB·AC＝2×8＋(－→→4)×4＝0，即AB⊥AC. 所以∠BAC＝90°. 故△ABC是直角三角形．
→→→→4．已知O为坐标原点，向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在x轴上有一点P使得AP·BP有最小值，则点P的坐标是( ) A．(－3，0) C．(3，0)
B．(2，0) D．(4，0)
→→
解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)． →→AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， →→所以当x＝3时，AP·BP有最小值1.
所以点P的坐标为(3，0)．
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( ) 77?A.??9，3? 77?C.??3，9?
77
－，－? B.?9??377－，－? D.?3??9
解析：选D.设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x，2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得
{2（2＋y）＋3（x＋1）＝0，3x－y＝0，
7777?
－，－?. 解得?x＝－9，y＝－3，即c＝?3??9
?
→→
6．已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)，D(3，4)，则向量CD在AB方向上的投影为________． →→→→→解析：因为AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，所以AB·CD＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB|＝22＋12＝5.→→
AB·CD15→→→→→
设AB与CD的夹角为θ，所以向量CD在AB方向上的投影为|CD|·cos θ＝＝＝35.
→5|AB|答案：35
7．若a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，→
则向量MN的模为________．
解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)， 所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)， 因为(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4， →→
故向量MN＝(－8，8)，|MN|＝82. 答案：82
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD→→→→
上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐→→→
标系(图略)，设F(x，2)，所以AE＝(2，1)，AF＝(x，2)，AB＝(2，0)， →→所以AB·AF＝2x＝2， 所以x＝1，所以F(1，2)，
→
所以BF＝(1，2)－(2，0)＝(1－2，2)， →→所以AE·BF＝2. 答案：2
9．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)． (1)求a＋b与a－b的夹角； (2)若a⊥(a＋λb)，求实数λ的值． 解：(1)因为a＝(1，2)，b＝(－3，4)， 所以a＋b＝(－2，6)，a－b＝(4，－2)， 设a＋b与a－b的夹角为θ，
（－2，6）·（4，－2）－2023π
所以cos θ＝＝＝－.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 2440×2040×20(2)当a⊥(a＋λb)时，a·(a＋λb)＝0， 所以(1，2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0， 则1－3λ＋4＋8λ＝0， 所以λ＝－1.
10．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，0)． (1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角； (2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
解：(1)因为向量a＝(1，3)，b＝(－2，0)，所以a－b＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)， （a－b）·a6
所以cos〈a－b，a〉＝＝ |a－b|·|a|43＝3
. 2
π
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为. 6(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4
?t＋1?＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，
?2?2
12]，所以|a－tb|的取值范围是[3，23]．
[B 能力提升]
→→
11．在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A.5 C．5
B．25 D．10
1→→→→→
解析：选C.因为AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，所以AC⊥BD，所以S四边形ABCD＝|AC
2→1|·|BD|＝×5×25＝5.
2
12．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．
解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，所以a·c＝m＋4
北师大版数学必修四同步练习：第二章 6 平面向量数量积的坐标表示
