上 海 海 事 大 学 试 卷
2010 — 2011 学年第一学期期末考试 《 高等数学A（一）》（A卷）
解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分)
--------------------------------------------------------------------------------------1、lim?xcosx?02?的值为?2x?（?A?）?(A)等于0 ; (B)等于2 ;
?(C)为无穷大 ; (D)不存在，但不是无穷大 .2、设a,b适合,3a2?5b,则方程,x5?2ax3?3bx?4c?0?（?B?）?(A) 无实根 (B) 有唯一实根?(C) 有三个不同的实根 (D) 有5个不同的实根3、设F(x)??x?2??x?
esintdt,则F(x)?（?D?）
?(A) 不为常数 (B) 为负常数? (C) 恒为零 (D) 为正常数二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)
1ex?1?x的值为1、lim
x?02x2?????????2、设a,b,c均为非零向量，满足c?a?b,b?c?a,a?b?c，
则a?b?c= 3 三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）
4?x2x) 1、极限lim(x??x44?8原式?lim(1?)?e8 6分
x??xx装订 线2、设y?y(x)由方程exy?cos(xy)?y确定,求y?(0)
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解：exy(y?xy?)?(y?xy?)sin(xy)?y?， 4分
当x?0时.,y?2,y?(0)?2 6分 3、求??1??1xdx． 5?4x解：令 5?4x?t，x?1(5?t2) 1分 4134分 原式??(5?t2)dt
811? 6分 64、求?解：?arctanxdx.
x(1?x)arctanxdx
x(1?x)?2?arctanxd(arctanx) 3分
?(arctanx)2?C 6分（遗留C扣1分）
x???0tcostdt，x?0 , 试讨论f(x)在x?0点处的连续性和可导性．5、已知 f(x)????
2?x，x?0??f(?0)?limtcostdt?0??x?0x?002解：f(?0)?limf(x)?limx?0 2分 ??x?0x又f(0)?0? f(x)在点x?0处连续 3分
f(x)?f(0)f??(0)?lim?limx?0?x?0?x ?lim(xcosx)?0?x?0?tcostdt0xx 5分
f(x)?f(0)x2f??(0)?lim?lim??0x?0?x?0xx第 2 页 共 6 页
f?(0)?0，f(x)在点x?0处可导． 6分
6、设函数f(x)具有连续导数，又曲线y?f(x)通过原点0，且它在原点0处的切线??斜率等于1，试求： lim?x?0x?0f(t)dt
．xsinx解：由题意知， 2分 f(0)?0，f?(0)?1，
x0f(t)dt? lim?limf(x) 4分
x?0xsinxx?0sinx?xcosxf?(x) 5分 ?limx?02cosx?xsinx11 ?f?(0)? 6分
227、试确定y?ax3?bx2?cx?d中的a,b,c,d,使得点（?2，44）为驻点，
（1，—10）为拐点。 解：y??3ax2?2bx?c,y???6ax?2b,曲线过点（?2，， 44），（1，?10）
??8a?4b?2c?d?44故有：?， 3分
a?b?c?d??10?又（－2，44）为驻点，（1，－10）为拐点，
?y?(?2)?12a?4b?c?0， 5分 ?????y(1)?6a?2b?0解方程得a?1,b??3,c??24,d?16. 6分
．8、求?x2cosxdx
0?解：原式?x2sinx?0?2?xsinxdx 3分
0??2xcosx0?2?cosxdx??2? 6分
0???1xdx与?ln(1?x)dx大小．9、不计算积分，试比较? ?01?x?0?1解：由微分中值定理，可得
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ln(1?x)?1xx?，0???x 3分 1??1?x1
xdx 6分
001?xx（本题也可以用单调性f(x)?ln(1?x)?，如直接计算不给分）
1?x所以?ln(1?x)dx???x?2y?z?5?010、求过P0(4,2,?3)与平面?:x?y?z?10?0平行且与直线l1:?
z?10?0?垂直的直线方程。
ijk解：?的法向量为n?{1,1,1}，S1?12?1?{2,?1,0}， 2分
001???S?n?S1?{1,2,?3}， 4分
x?4y?2z?3 6分 ??12?3四、应用及证明（20分） 1、（本题7分）
设有一块边长为a的正方形铁皮,从四个角截去同样的小方块,作成一个无盖的方盒子,问小方块的边长为多少才使盒子的容积最大设小方块的边长为x,则盒子的容积为a 3分
V?x(a?2x)?ax?4x?4ax, 0?x?2223
V??a2?12x?8axa
唯一驻点：x?6V??x?a6?(24x?8a)x?a6??4a?0 6分
aa为极大值点,也是最大值,所以小方块边长为时,盒子的 66容积最大即x?
7分
2、（本题7分）
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求抛物线y2?3(3?x)及抛物线在(0,3)处的切线和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.
解: 2ydy??3dx,
dydx?(0,3)?31?? 1分
2y(0,3)2
1x, 2分 2与x轴交点(6,0).切线:y?3?312Vx???(3?x)dx???3(3?x)dx 5分
00263?2?1332 ????(3?x)?(3?x)?22?00??3?279 ??(18?)??. 7分
226
3、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且有
f(1)?2?xe1?xf(x)dx，证明必存在??(0,1),使f?(?)?(1???1)f(?)。
1201证：积分中值定理：?xe1?xf(x)dx?Ce1?Cf(C)? 2分
2120
令F(x)?xe1?xf(x),F(1)?F(C)， 4分
由Rolle定理 F?(?)??e1??[f?(?)?(1???1)f(?)]?0；5分
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