第23讲 轨迹问题之直线轨迹
点的轨迹问题近年来在考试中经常出现，解决这类问题，首先得要了解，哪些条件会产生这类轨迹？ 模型讲解
模型一：轨迹为直线
Pd定直线
动点P到定直线距离保持不变，点P的轨迹为一直线
POα定直线
点P与定线段一端点连接后，与该线段所夹角保持不变，点P的轨迹为一直线
【例题讲解】
例题1、如图，已知A＝10，点C、D在线段AB上，且AC＝DB＝2，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 .
HEGFEMGFNACPDBACPDB
【解析】延长AE、BF，相交于点H，连接HP
易得△HAB为等边三角形，四边形HEPF为平行四边形 ∵平行四边形的对角线互相平分，且G为FE中点 ∴G在HP上，且G为HP的中点
∴当P从点C运动到点D时，G始终为HP的中点 ∴G到AB的距离始终为点H到AB的距离的半 ∴点G的轨迹为直线
∴MN即为G点运动的路径长
例题2、如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 .
【解析】连接AN 易证△ANB≌△CMB ∴∠BAN＝∠BCM＝30° ∵AB边为定边
∴N在与AB夹角为30°的直线上运动
∴当HN⊥AN时，HN最短（即为图中N′点） ∵∠BAN＝30°，AH＝
1AB＝a 2∴HN′＝
11AH＝a 22CCMAHNBAMHN 'NB
例题3、在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m－1，－为实数），则PM的最小值为 .
yP39m－）（其中m44xAMBO
【解析】∵点M的坐标为（m－1，－
39m－） 44∴设x＝m－1，y＝－∴m＝x＋1……②
39m－……① 44将②式代入①式化简得y＝－
3x－3 4∴点M在函数y＝－
3x－3上运动，轨迹为直线 4∴当PM⊥AB时，PM最小
根据△PMB∽△AOB，即可得PM＝4 ∴PM的最小值为4
【巩固训练】
1、等边三角形ABC中，BC＝6，D、E是边BC上两点，且BD＝CE＝1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为 .
ANGMBDPEC
2、如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BROP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为 .
CPEQKDAMBNGFH
3、如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE:ED＝1：3.动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .
APBEM FCD
4、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧做等边△APQ，则Q点运动的路径长为 cm.
C
PQ
AB
5、如图，在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，2），C（m，－4m＋20），若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为 .
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