成都七中 2024 年外地生自主招生考试 数学
(时间 120 分钟，满分 150 分) 注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60 分)
1.若 M ? 5x?12xy ?10 y? 6x ? 4 y ?13 ( x、y 为实数)，则 M 的值一定为( ▲ ) A.非负数 B.负数 C.正数 D.零 2.将一个棱长为 m ( m ? 2 且 m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成 m个棱长为1 的小正方 体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的 12 倍，则 m 等于( ▲ ) A.16
B.18
2
3
2
2
C. 26 D. 32
2
a
6a?100a ? 7 ? 0,7b?100b ? 6 ? 0 ，且 3.已知 ab ? 1 ，则 的值为( ▲ )
b6100750A. B. C. D.
77634.若 a ?3a
，, b ?2?6?10，则 的值为(
b2?3?51
6?10▲ )
A.
111 B. C. D. 242?35.满足 ab?a?b?1?0的整数对 ?a, b?共有( ▲ ) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个
6.在凸四边形 ABCD 中，E 为 BC 边的中点，BD 与 AE 相交于点 O，且 BO＝DO，AO＝2EO，则
S?ACD:S?ABD的值为( ▲ )
A.2:5 B.1:3 C.2:3 D.1:2 7.从 1 到 2024 连续自然数的平方和12 ? 22 ? 32 ?? ? 20242 的个位数字是( ▲ ) A.0 B.1 C.5 D.9 8.已知 x ? y ? z ? 0 ，且
111(x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? (z ? 3)2 的???0? 0 ，则代数式
x?1y?2z?3值为( ▲ )
A.3 B.14 C.16 D.36 9.将一枚六个面编号为 1、2、3、4、5、6 的质地均匀的正方体骰子先后投两次，记第一次投掷的点数为 a，第二次投掷出的点数为 b，则使关于 x、y 的方程组??ax?by?2，只有正数解的概
2x?y?3?率为( ▲)
A. B. D. C. 12 6 18 3610.方程 3a2 ? 8a ? 3b ? 1 ? 0 ，当 a 取遍 0 到 5 的所有实数值时，则满足方程的整数 b 的个数是( ▲ )
A.12 个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 11.若一个三角形的三边和为 40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为(▲ ) A.31 个 B.32 个 C.33 个 D.34 个
12.若关于 x 的方程 x? ax ? b ? 3 ? 0 有实根，则 a? ?b ? 4?的最小值为(
2
2
2 11513▲ )
A.0 B.1 C.4 D.9
二、填空题(13－16 题，每题 7 分；17－19 题，每题 8 分，共 52 分) 13.已知 x ?
3?13，则代数式 x4 ? 3x3 ? 3x ?1的值为 . 214.在正十边形的 10 个顶点中，任取 4 个顶点，那么以这 4 个顶点为顶点的梯形有 个 15．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D 为 AB 中点，E 为 BC 上一点，将△ ADE
沿 DE 翻折得到△A′DE，使△A′DE 与△ BDE 重叠部分的面积占△ ABE 面积的 ，则 BE 的长为 .
14
16.已知关于 x 的方程x?2x?1?x?4x?4?2x?6x?9?m恰好有两个实数解， 则 m 的取值范围为
.
22217.如图，PA 切⊙O 于点 A，PE 交⊙O 于点 F、E，过点 A 作 AB⊥PO 于点 D，交⊙O 于点 B，连接 DF，若 sin∠BAO＝ ，PE＝5DF，则 23PF
＝ PE.
18.如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD＝5，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°，M 和 N 分别是线段 AD 和线段 BC 上的点，且满足 BN＝DM，则线段 MN 的最小值为
.
1x23n ?a?ax?ax?ax?...?ax0123n，则a2?a3?219.若 ? 2? x ? 1 ，1?x?2x
三、解答题(20 题 18 分，21 题 20 分，共 38 分)
2
a 20.已知二次函数 y ? x? (a ? 7)x ? 6 ，反比例函数 y ? .
x (1)当 a ? 2 时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数 a 的值；
(3)若这两个函数的交点都在直线 x ?
21.已知四边形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 AD 和 AB 上的点，连接 BE、DE 相交于点 G， 且满足∠ADF＝∠ABE.
(1)如图 1，若 DE ? BG ? n ， cos ?AEB ?
1的右侧，求 a 的取值范围. 22， GE ? 3 ，求 AE 的长(用含 n 的代数式表示)； 3(2)如图 2，若四边形 ABCD 为矩形，G 恰为 BE 中点，连接 CG，AE＝1，作点 A 关于 BE 的对称点 A′，A′到 CG 的距离为 32
，求 DE 的长. 4
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