上海市金山区2024届高三一模数学试卷
2024.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合M?{x|x?2x?0}，N?{x||x|?1}，则M2N?
2. 若复数z满足2z?z?3?2i，其中i为虚数单位，则z? 3. 如果sin???4. 函数f(x)?5，且?为第四象限角，则tan?的值是 13cosxsinxsinxcosxx的最小正周期是
?15. 函数f(x)?2?m的反函数为y?f(x)，且y?f?1(x)的图像过点Q(5,2)，那么
m? x2?y2?1的渐近线的距离是 6. 点(1,0)到双曲线4?2x?y?0?7. 如果实数x、y满足?x?y?3，则2x?y的最大值是
?x?0?8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程x?y?4tx?2ty?3t?4?0（t为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若an是(2?x)（n?N，n?2，x?R）展开式中
n222*x2项的二项式系数，则lim(n??111??????)? a2a3anst41012283036???11. 设数列{an}是集合{x|x?3?3,s?t且s,t?N}中所有的数从小到大排列成的数列， 即a1?4，a2?10，a3?12，a4?28，a5?30，a6?36，???，将数列{an}中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为 12. 曲线C是平面内到直线l1:x??1和直线l2:y?1的距离之积等于常数k（k?0）的 点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C过点(?1,1)；② 曲线C关于点(?1,1)成中心对称； ③ 若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|?|PB|不小于2k； ④ 设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1:x??1，点(?1,1)及直线l2:y?1对称 的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0PP12P3的面积为定值4k； 其中，所有正确结论的序号是
22二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 给定空间中的直线l与平面?，则“直线l与平面?垂直”是“直线l垂直于平面?上 无数条直线”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 已知x、y?R，且x?y?0，则（ ） A.
1111??0 B. ()x?()y?0 xy22C. log2x?log2y?0 D. sinx?siny?0 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
2?? B. 8? 332?C. 8?2? D.
3?x2?(4a?3)x?3ax?016. 已知函数f(x)??（a?0且a?1）在R上单调递减，且关
x?0?loga(x?1)?1于x的方程|f(x)|?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A. 8? A. (0,] B. [,] C. [,]{} D. [,)
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PB、PD与 平面ABCD所成的角依次是
23233412333412333{} 41?和arctan，AP?2，E、F依次是PB、PC的中点；
24（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P?AFD的体积；
18. 已知△ABC中，AC?1，?ABC?（1）求函数f(x)的解析式及定义域；
（2）试写出函数f(x)的单调递增区间，并求方程f(x)?
2?，设?BAC?x，记f(x)?AB?BC； 31的解； 619. 已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是(?1,0)，长轴长是短轴长的2倍，直 线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足?OFA??OFB?180； （1）求椭圆C的标准方程；
（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论?OFA如何变化，直线l总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；
20. 已知函数g(x)?ax?2ax?1?b(a?0)在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记f(x)?g(|x|)，x?R； （1）求实数a、b的值；
2（2）若不等式f(x)?g(x)?log2k?2log2k?3对任意x?R恒成立，求实数k的范围；
?2（3）对于定义在[p,q]上的函数m(x)，设x0?p，xn?q，用任意xi(i?1,2,???,n?1) 将[p,q]划分成n个小区间，其中xi?1?xi?xi?1，若存在一个常数M?0，使得不等式
|m(x0)?m(x1)|?|m(x1)?m(x2)|?????|m(xn?1)?m(xn)|?M恒成立，则称函数m(x)
为在[p,q]上的有界变差函数，试证明函数f(x)是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；
21. 数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有Sn?（1）试证明数列{bn}是等差数列，并求其通项公式；
（2）如果等比数列{an}共有2024项，其首项与公比均为2，在数列{an}的每相邻两项ai
i*与ai?1之间插入i个(?1)bi(i?N)后，得到一个新数列{cn}，求数列{cn}中所有项的和；
n(n?1)； 2*（3）如果存在n?N，使不等式(n?1)(bn?820)?(n?1)??bn?1?成立，若存在， bnbn?1求实数?的范围，若不存在，请说明理由；
参考答案
一. 填空题
1. (1,2) 2. 1?2i 3. ?55 4. ? 5. 1 6.
5127. 4 8. 48 9. x?2y?0 10. 2 11. 324 12. ②③④
二. 选择题
13. A 14. B 15. A 16. C
三. 解答题 17.（1）arccos3104；（2）； 10318.（1）f(x)?221?1?sinxsin(??x)?sin(2x?)?，x?(0,)； 333663（2）递增区间(0,
?6
]，x?
?6
；
x2?y2?1；19.（1）（2）(?2,0)； 2120.（1）b?0，a?1；（2）[,8]；（3）Mmin?4；
22024?2033134；21.（1）bn?n；（2）2（3）不存在；
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