证明整除或求余数
知识内容
1．二项式定理 ⑴二项式定理
?a?b?n0n1n?12n?22nn?Cna?Cnab?Cnab?...?Cnb?n?N??
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
Ca?Cab?Ca0nn1nn?12nn?22b?...?Cb叫做?a?b?的二项展开式，其中的系数
nnnnrCn?r?0,1,2,...,n?叫做二
rn?rrab叫做二项展开式的通项，用Tr?1表示，即通项为展开式的第r?1项：项式系数，式中的Cnrn?rrTr?1?Cnab．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式?a?b?的展开式项数为n?1项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数n．
②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．
n⑷几点注意
rn?rrab是?a?b?的展开式的第r?1项，这里r?0,1,2,...,n． ①通项Tr?1?Cnnrn?rrba是有区别的，应用二项式定理时，其②二项式?a?b?的r?1项和?b?a?的展开式的第r?1项Cnnn中的a和b是不能随便交换的．
③注意二项式系数（Cnr）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是?a?b?这个标准形式下而言的，如?a?b?的二项展开式的通项公式是
rn?rrrn?rrTr?1???1?Cnab（只须把?b看成b代入二项式定理）这与Tr?1?Cnab是不同的，在这里对应项的
rnn二项式系数是相等的都是Cnr，但项的系数一个是??1?Cnr，一个是Cnr，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
122rrx?Cnx?...?Cnx?...?xn． ⑤设a?1,b?x，则得公式：?1?x??1?Cnnrrn?rrab?r?0,1,2,...,n?中含有Tr?1,a,b,n,r五个元素， ⑥通项是Tr?1?Cn只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1?x)n的近似值．
2．二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形：
对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：
?a?b?n012n,Cn,Cn,...,Cn展开式的二项式系数是：Cn，从函数的角度看Cnr可以看成是r为自变量的函数
f?r?，其定义域是：?0,1,2,3,...,n?． 当n?6时，f?r?的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和n?6时f?r?的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
mn?m?Cn事实上，这一性质可直接由公式Cn得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是
n2n?n?1?01， Cn?1,Cn?,Cn?11?2n?n?1??n?2?3，．．．， Cn?1?2?3k?1Cn?n?n?1??n?2?...?n?k?2?1?2?3?....??k?1?k?，Cnn?n?1??n?2?...?n?k?2??n?k?1?1?2?3...??k?1?k，．．．，
Cnn?1．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n,n?1,n?2,...），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，Cnr的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系
数最大的项必在中间．
当n是偶数时，n?1是奇数，展开式共有n?1项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为C．
当n是奇数时，n?1是偶数，展开式共有n?1项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为Cn?12nn2n?Cn?12n．
012rn?Cn?Cn?...?Cn?...?Cn?2n． ③二项式系数的和为2n，即Cn④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
024135Cn?Cn?Cn?...?Cn?Cn?Cn?...?2n?1．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
典例分析
二项式定理的应用1证明整除或者求余数
【例1】 利用二项式定理证明：32n?2?8n?9是64的倍数．
【例2】 若n?N*，证明：32n?3?24n?37能被64整除．
n?1【例3】 证明：(1?3)2n?(1?3)2n(n?N*)能被2整除．
n?1【例4】 证明：(1?3)2n?1?(1?3)2n?1(n?N*)能被2整除．
【例5】 ⑴230?3除以7的余数________；
⑵5555?15除以8的余数是__________；
⑶19912000除以103的余数是 ．
【例6】 11?1的末尾连续零的个数是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
100
高中数学完整讲义二项式定理二项式定理的应用证明整除或求余数
