(2024年整理)量子力学27

由天下分享时间：2024/12/20 17:35:17 加入收藏我要投稿点赞

（完整）量子力学27

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（完整）量子力学27

§5—2 简并情况下的微扰理论

实际问题中，非简并的例子很少，多数问题是能级简并情形.如氢原子,只有基态（n?1）时不简并，在其它状态时都发生能级的简并。在简并情况下，我们就需另外探讨一种方法。

设体系的哈密顿算符为

??为微扰项。 H体系满足的能量本征方程为

?(0)的本征方程为设H??H?(0)?H???H?(0)??H?(1) H???E? Hnnn?(0)?(0)?E(0)?(0) Hn?nn?(0)?n式中??1、2、···、f，即En(0)是f度简并.En(0)对应的f个本征函数???满足正交归一条件

?????dx????

处理简并微扰问题的关键是如何选取合适的零级近似波函数？令零级近似波函数为

(0)(0)(0)?n??cn??n?

*(0)n(0)n?把?n和En用?的幂级数作展开，有

(0)(1)(2)?n??n???n??2?n?? (0)(1)(2)En?En??En??2En??

?的本征方程中，即把展开式代入到H?(0)??H?(1))(?(0)???(1)??2?(2)?(Hnnn?(E(0)n)???2(2)n??E??E(1)n2(2)n?)(?(0)n???(1)n?)

等式两边?的同幂次项的系数应相等，于是可得逐级近似方程

?(0)?(0)?E(0)?(0) ?0： Hnnn?(0)?(1)?H?(1)?(0)?E(0)?(1)?E(1)?(0) ?1: Hnnnnnn?(0)?(2)?H?(1)?(1)?E(0)?(2)?E(1)?(1)?E(2)?(0) ?2： Hnnnnnnnn……………………………

(0)(0)(0)??cn把?n??n?代入到一级等式中,得

??(0)?(1)?H?(1)?c(0)?(0)?E(0)?(1)?E(1)?c(0)?(0) Hnn?n?nnnn?n??? 1

（完整）量子力学27

*(0)对上式做??n??dx运算，得

???E*(0)n??(0)?(1)dx??c(0)?*(0)H?(1)?(0)dxHnn??n?n??*(0)n?(0)n???dx?E(1)n(1)nc????(0)n?*(0)n??(0)n?

dx*(1)?(0)(0)(0)(1)*(0)H?n?dx?En?左边第一项???nn??n?dx,与右边第一项相同，相互抵消。令

???(1)??*(0)H?(1)?(0)dx,并考虑到?*(0)?(0)dx??，上式变为 H??n????n??n?n?H??c???(1)(0)n(1)(0)?Encn?

或

(H???E??(1)(1)n??(0)?)cn??0

写成矩阵形式为

(1)(1)?H11?En?(1)?H21????H(1)f1?(1)H12?(2)(1)H22?En???)H(f12)H1(1f(1)H2f?(0)??cn???(1?0)??cn2??????0 ???(1)??(0)??En??cnf??H(ff1)?(1)在简并子空间中的本征方程。H?(1)在简并空间中的矩阵元. ?(1)??*(0)H?(1)?(0)dx是H这正是H??n?n??零级近似波函数写成列矢量

(0)?cn??(1?0)?cn2???? ???c(0)??nf??(1)的本征函数。是H方程有非零解的条件是

(1)(1)H11?En(1)H21?(1)H12?(2)(1)H22?En???)H(f12)H1(1f(1)H2f??0

H(f11)(1)?H(ff1)?En)(1)由此可解得f个实根En(1···、f）。能量的一级修正值为?En?(??1、2、?，一级近似值为

(0)(1)En??En??En?

)(0)将每个En(1?代入到矩阵方程中可解得一组cn?，则En?对应的零级近似波函数为