课时作业1 平面向量的概念
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)下列说法不正确的是( ABC ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小
解析：向量之间不能比较大小，但向量的模可以比较大小，向量的大小与方向无关，故只有选项D正确．
→→
2．在平行四边形ABCD中，AB＝DC，对角线的交点为O，则相等的向量是( D ) →→A．AD与CB →→C．AC与BD
→→B．OB与OD →→D．AO与OC
→→
解析：根据题意，结合向量相等的定义，只有AO与OC方向相同，长度相等，故选D． 3．若a为任一非零向量，b的模为1，给出下列各式： ①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1. 其中正确的是( B ) A．①④ C．①②③
B．③ D．②③
解析：①中，|a|的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B．
→→→→
4．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为( C ) A．平行四边形 C．菱形
B．矩形 D．等腰梯形
→→→→→→
解析：由BA＝CD?BA∥CD且|BA|＝|CD|，又|AB|＝|AD|，故四边形ABCD为菱形． 5．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的→→
任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线且模相等的向量共有( D )
A．2个 C．6个
B．3个 D．7个
解析：由向量共线的定义及正六边形的性质可知共有7个．
6．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中错误的是( B )
A．C?A C．C?B 二、填空题
→→
7．如图，AO是某人行走的路线，那么AO的几何意义是某人从A点沿西偏南60°方向行走了2 km.
B．A∩B＝{a} D．A∩B?{a}
解析：因为A∩B中含有与a方向相反的向量，故B选项错误．
→
解析：由已知图形可知，AO的几何意义是从A点沿西偏南60°方向，行走了2 km. →→→→→→→
8．如图，设O是正方形ABCD的中心，则①AO＝OC；②AO∥AC；③AB与CD共线；④AO＝→
BO.其中，所有表示正确的序号为①②③.
→
解析：根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有④是错误的，AO与→
BO只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．
→
9．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边BC53→
上运动)，则向量AD长度的最小值为. 2解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线
53
段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
2
三、解答题
10．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．
→→→
(1)作出向量AB，BC，CD； →(2)求|AD|. 解：(1)如图所示．
→→
(2)由题意，易知AB与CD方向相反， →→
故AB与CD共线，即AB∥CD． →→又|AB|＝|CD|，
所以四边形ABCD为平行四边形． →→
所以|AD|＝|BC|＝200千米．
11．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶4 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地．
→→→→
(1)在如图所示的坐标系中画出向量AD，DC，CB，AB； (2)描述B地相对于A地的位置． 解：(1)如图所示．
→→→→
(2)由题意可知，AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，所以AB＝DC，所以B地位于
A地北偏东60°，相距4 km.
——能力提升类——
12．如图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )
→→A．|AB|＝|EF| →→
B．AB与FH共线
→→C．BD＝EH
→→
D．DC与EF共线
→→
解析：A一定成立，B一定成立，D因DC与EF一定不共线，故一定不成立，故选C． 13．如图所示，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，
BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( D )
→→A．AD＝BC →→C．PE＝PF
→→B．AC＝BD →→D．EP＝PF
→→→→
解析：根据相等向量的定义，分析可得A，B不成立；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF→→→→
不成立；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF成立．
14．如图，在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，则下列结论正确的是②.
→
①CD是单位向量；
2→→
②|CD|＝|BC|；
2→→③BC∥AC； →→④CD∥AB.
→→→→
解析：由题图可知，显然BC与AC不平行，CD与AB不平行，所以③④不正确．又因为等腰→
三角形ABC的边长不确定，所以不能确定CD是否为单位向量，所以①不正确，依题意，知
CD＝
2
BC，所以②正确． 2
→
15．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，
A，B，C，D}，向量的集合T＝{PQ|P，Q∈M，且各个向量不相等}，则集合T有多少个元素？
解：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个→→→→→→→→→→→→→→→→
向量各不相等，即为AO(OC)，OA(CO)，DO(OB)，AD(BC)，DA(CB)，AB(DC)，BA(CD)，BO(OD)，→→→→
AC，CA，BD，DB，由元素的互异性知T中有12个元素．
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课时作业含解析人教A版必修二
