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教学中插值法的快速理解和掌握
2009-4-13 9:52 田笑丰 【大 中 小】【打印】【我要纠错】
摘要 在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词 插入法；近似直边三角形；相似三角形
时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基本依据。为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。
事实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期数成正向关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。
笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i
这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 (一)已知的是现值系数
那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F，其对应的利息率为i。
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(二)已知的是终值系数
那么系数与利息率之间是正向关系：利息率越大系数也越大。其关系可用图2表示。
图2中，F表示根据题意计算出来的某种终值系数。F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。F对应的利息率仍记作i，查表所得的另一个比F略大的系数记作F，其对应的利息率即为i。
上面两图中，二者往往相差1％，最多也不超过5％，故曲边三角形ABC和ADE可近似地看作直边三角形。
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二、已知系数F和利息率i。求计息期n (一)已知的是终值系数和年金现值系数
那么系数与计息期间是正向关系：计息期越大系数也越大。可用图3表示。
图3中。F表示根据题意计算出来的终值系数或年金现值系数，F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。F对应的计息期即为n，查表所得的另一个比F略大的系数即记作F。其对应的计息期为n。 (二)已知的是复利现值系数
那么系数与计息期间是反向关系：计息期越大系数反而越小。可用图4表示。
图4中，F表不根据题意计算出来的复利现系数。F1为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F1对应的计息期即为n1，那么还有另一个比F略小的系数即记作F2，其对应的计息期为n2。
同理，当n1和n2无限接近时，近似直边三角形ABC、ADE为相似三角形，则有：BC／DE=AB/AD 在图3中即有：F-F1／F2-F1=n-n1/n2-n1 在图4中则有：n-n1/n2-n1＝F1-F／F1-F2 据上面两式均可求得：
n=n1+F1-F／F2-F1(n2-n1)…………………………公式2 三、内部报酬率IRR的计算
内部报酬率(或叫内部收益率)IRR是投资决策常用指标之一，也采用插值法来计算，其原理等同于时间价值中利息率的计算，只是因变量由终值、现值系数转变为净现值NPV。其计算原理可在图5中得到反映。 这里，i1＜i2，且二者之差不超过5％，这是在实际计算中很多人容易忽略的一个方面。在测算净现值时。先试用一个较小的贴现率，求得的NPV远大于零，于是就再选用一个大得多的贴现率让NPV小于0，之后也直接套用公式3来计算IRR，这样虽然省事。但误差较大，有时候会影响决策。因为此时曲边三角形不可以近似看作直边三角形，后面的推导也就不成立了。理解了这一原理，一般就会注意两次试用的贴现率之间差距不要太大。其标准就是不超过5％。
以上三个公式均是以较小的变量(i1、n1)加上插入值。可以称为加法公式。公式中分式部分即插入值。其分子、分母的被减项都是较小变量对应的系数或净现值，这样对应记忆快捷准确。加上三者结构一致，记住一个即可举一反三，非常方便。
这三个公式均是以较大的一项(i2、n2)为起点，减去插入值，可以称为减法公式。分式中分子、分母的被减项均是较大变量对应的系数或净现值，也是对应关系。
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本文开头所提例子应该用减法公式，直接套用公式2，因为其列示已知变量是从大到小，但教材却用了加法公式2。导致错误。如果采用加法公式2，那就要对查表已知的期数及年金现值系数从小到大重新排列。正确运用两公式的结果是一样的，均为5.4年。
插值法的原理是相似三角形定理，据此。即使模糊或忘记了公式也可采用文中任一图示快速、准确地推导出来。而且采用公式法，不论是根据什么系数。也不论是求解利息率、计息期还是IRR。均可套用，简单有效又不容易出错。
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【摘 要】笔者通过例举了3个财务管理中的例子，总结出了一种简易的插值法，可以非
常直观的解决财务管理实务中的问题。
【关键词】简易插值法；财务管理实务；财务问题
中图分类号:C931 文献标识码:A 文章编号:1009-8283(2009)01-0036-01
财务管理实务中多处用到插值法求解相关问题，如求年金或复利现值系中的贴现率i或期数n、求内含报酬率IRR等，但是国内大部分的《财务管理》教材中都未讲解插值法的计算原理，导致许多学生死记公式，计算常常发生错误。笔者总结出一种简易的插值法，可以非常直观地解决上述问题。下面通过几个具体例题来阐述这种方法：
[例1]：假设年利率为10%，按复利计算，投资者需要存款多长时间才能使3000元变为9000元。 解：已知PV=3000，FV=9000 ，i=10%，求n 依据公式 ：FV = PV*（1+10%） 或 FV = PV * ( F/P,10% ,n)
可知： (F/P,10% ,n)= FV/PV=9000/3000=3 查复利现值系数表可知： 当n = 11时, (F/P,10% ,11) = 2.8531 当n = 12时, (F/P,10% ,12) = 3.1384
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