“零点不可求”问题的九大解题策略
曾维萍
【期刊名称】上海中学数学 【年(卷),期】2017(000)012 【总页数】5
导数是解决函数问题的有力工具，纵观近几年高考试题，不难发现出现了一类函数、导数的综合题型，这类问题在用导数解决的时候，常常难以求出导函数的零点，为此笔者反思并总结了常见应对策略.
策略一：采用定义法、分离参数法、构造函数法,讨论零点个数
例1 (2016全国卷Ⅱ文) 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解：(1)略.
(2)此问用定义法解答.(ⅰ)设a>0,则由(1)知，f(x)在(-∞,1)单调递减，在(1，+∞)单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b
例2 (2015全国卷Ⅰ文)设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a+aln.
解：(1)此问可用分离参数法解答.由题知，f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2e2x-.令f′(x)=2e2x-=0，则a=2xe2x(分离参数)，构造函数g(x)=2xe2x(x>0)，则问题转化为讨论函数y=a,g(x)=2xe2x图像交点的个数问题，g′(x)=2e2x(1+2x)>0，即在(0，+∞)单调递增，所以g(x)>g(0)=0，易知g(x)在(0，+∞)上的大致图像如图1所示.当a>0时，y=a,g(x)=2xe2x的图像有一个交点；当a≤0，y=a,g(x)=2xe2x的图像无交点.综上，当a>0时，f′(x)有一个零点；当a≤0时，f′(x)无零点.
此问也可用构造函数法解答.由题知，f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2e2x-.令f′(x)=2e2x-=0，则e2x=，构造函数p(x)=ex,q(x)=(构造函数，数形结合)，当a=0时，p(x)与q(x)的图像无交点，即f′(x)无零点；当a>0时,如图2所示，p(x)与q(x)的图像有一个交点，即f′(x)有一个零点.
当a<0时，p(x)与q(x)的图像无交点，如图3所示，即f′(x)无零点. 综上，当a>0时，f′(x)一个零点；当a≤0，f′(x)无零点. (2)略.
评析：零点个数问题的考查方向主要有判断零点的个数、讨论零点的个数.若考查判断零点的个数，可以考虑定义法直接将零点求出来，或者构造函数，把原函数分解为两个基本函数，分别作出它们的图像，则交点的横坐标就是原函数的零点，因此可以通过交点的个数来判断零点个数；若考查讨论零点的个数，可以考虑令函数等于零，采用分离参数法. 衔接：2016全国卷Ⅱ文21题.
策略二：采用零点唯一性定理证明零点的存在
例3 (2015陕西文)设fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2.(1)求证明：fn(x)
在(0,)内有且仅有一个零点(记为an)，且
解：(1)略.(2)当x∈(0,)时，由等比数列求和公式知fn(x)=x+x2+…+xn-1=-1，将fn(x)看成关于x的函数，则fn(x)在(0,)内是增函数由零点唯一性定理知fn(x)在(0,)内有且仅有一个零点，记为an∈(0,)，则fn (an ) = -1 = 0，整理得由an∈(0,)知整理得
评析：需要注意，零点的存在性满足两个条件,一是图像连续不断，二是区间端点函数值异号.零点的唯一性满足三个条件，图像连续不断、函数单调、区间端点函数值异号.本题中函数fn(x)的零点不可求，因此，本题只能利用函数零点的唯一性定理来判断.
衔接：2015年全国Ⅱ理21(1).
策略三： 设而不求，对含零点的代数式消元
例4 (2015全国卷Ⅰ文)设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a+aln.
解：(1)当a>0时，f′(x)有一个零点；当a≤0时，f′(x)无零点.
(2)由(1)知，当a>0时，f′(x)有一个零点，设为x0，则f′(x0)==0，易知，当x∈(0,x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(0,x0)单调递减；在(x0，+∞)单调递增，当x=x0时，fmin(x0)=e2x0-alnx0.由f′(x0)==0知，e2x0=，2x0=ln=ln-lnx0，即lnx0=ln-2x0，将e2x0，lnx0(对含零点的代数式消元)代入fmin(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln，等号成立的条件是=2ax0，即x0=时取等号.
综上，当a>0时，f(x)≥2a+aln.
衔接：2013全国卷Ⅱ理科21题、2012年全国卷文科21题.
“零点不可求”问题的九大解题策略
