（河北省邯郸市2024届高三第一次模拟考试数学（理）试题） 18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为低于
箱则有以下两种优惠方案：①以
成交的概率为
，以优惠
元，低于
箱按原价销售，不
箱为基准，每多成交的概率为
箱送箱；②通过双方议价，.
买方能以优惠
甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交
价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率； 某单位需要这种零件惠方案更划算？ 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；
（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.
【详解】(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24， 所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76． (2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188． X的分布列为 X P
则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6．
若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．
若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱， 从而购买总价为200×600＝120000元． 因为120640>120000，所以选择方案①更划算． 评分细则：
184 0.6 188 0.4 ；（2）选择方案①更划算．
箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优
第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.4+0.6＝0.76同样得分； 第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：
设在折扣优惠中购买总价为X元，则X＝184×650或188×650． X的分布列为 X P
则EX＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640．
【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
（山东省德州市2024届高三期末联考数学（理科）试题）
20.在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示： 组别 频数
（I）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，198），μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（37＜Z≤79）；
（II）在（I）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单元：元） 20 40 [30，40） 2 [40，50） 15 [50，60） 20 [60，70） 25 [70，80） 24 [80，90） 10 [90，100] 4 184×650 0.6 188×650 0.4 22
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记ξ（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：
2
14．
P若X～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974． 【答案】（Ⅰ）0.8185．（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意求出Ez＝65，从而μ＝65，进而P（51＜Z≤79）＝0.6826，P（37＜Z≤93）＝0.9544．由此能求出P（37＜Z≤79）． （Ⅱ）由题意知P（Z＜μ）＝P（Z≥μ）
40，60，80．，获赠话费ξ的可能取值为20，分
别求出相应的概率，由此能求出的分布列和Eξ． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得Ez＝
35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.24+5×0.1+95×0.04＝65． ∴μ＝65，∵σ
14，
∴P（65﹣14＜Z≤65+14）＝P（51＜Z≤79）＝0.6826， P（65﹣2×14＜Z≤65+2×14）＝P（37＜Z≤93）＝0.9544， ∴P（31＜Z≤51）
[P（37＜Z≤93）﹣P（51＜Z≤79）]＝0.1359
综上P（37＜Z≤79）＝P（37＜Z≤51）+P（51＜Z≤79）≈0.1359+0.6826＝0.8185． （Ⅱ）由题意知P（Z＜μ）＝P（Z≥μ）
，
获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，80． P（ξ＝20）P（ξ＝40）P（ξ＝60）P（ξ＝80）
； ；
；
；
ξ 的分布列为： ξ P ∴Eξ＝20
40
60
80
37.5．
20 40 60 80 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
（四川省南充市高三2024届第二次高考适应性考试高三数学（理）试题）
18.某地区为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系,对700棵高粱进行抽样调查,得到高度频数分布表如下: 表1：红粒高粱频数分布表 农作物高度(频 数
表2：白粒高粱频数分布表 农作物高度(频 数
(1)估计这700棵高粱中红粒高粱的棵数; (2)估计这700棵高粱中高粱高(
)在
的概率；
中任选3棵，设表示所选3棵中高(单位：
．
) 1 7 12 6 3 1 ) 2 5 14 13 4 2 (3)在红粒高粱中，从高度(单位：)在)在
的棵数，求的分布列和数学期望
【答案】（1）400；（2）0.6；（3）见解析. 【解析】 【分析】
（1）样本中红粒高粱为40棵，白粒高粱30棵，由抽样比例可得这亩地中红粒高粱棵数为
400．
（2）样本中高在[165，180）的棵数为42，样本容量为70，由此能求出样本中高在[165，180）的频率． （3）的可能值为可.
【详解】(1)样本中红粒高粱为40棵，白粒高粱30棵，所以红粒高粱棵数大约为
（棵）
（2）由表1、表2可知，样本中高在本容量为70， ∴样本中高在.
（3）根据题意知：的可能值为所以
，
的频率
.从而估计这700棵高粱中高在
的概率为
的棵数为：
，样
，由超几何分布计算出可能取值的概率，列出分布列和求出期望即
，
，
所以的分布列为 所以
.
1 2 3 【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查超几何分布、数据处理能力，属于基础题．
（四川省内江、眉山等六市2024届高三第二次诊断性考试文科数学试题）
18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各
实验地分别用甲、乙方法培训株，对每株进行综合评分，将
及以上的花苗为优质
每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为花苗.
求图中的值，并求综合评分的中位数. 用样本估计总体，以频率作为概率，若在花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望； 填写下面的列联表，并判断是否有
的把握认为优质花苗与培育方法有关.
两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的
附：下面的临界值表仅供参考.
（参考公式：
【答案】（1）82.5；（2）见解析；（3）有【解析】 【分析】
，其中.）
的把握认为优质花苗与培育方法有关系.
（1）根据频率之和为1得到，根据面积相等，求出中位数. （2）利用二项分布列出对应的概率，写出分布列，算出数学期望. （3）根据优质花苗颗数，填好表格，选取相应数据，计算得到【详解】
由
，再进行判断.
，
解得
解得
，即概率为
，于是，
其分布列为：
，
令得分中位数为，由故综合评分的中位数为由
与频率分布直，优质花苗的频率为
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望结合
与频率分布直方图，优质花苗的频率为
棵，列联表如下表所示：
，则样本种，优质
花苗的颗数为
可得所以，有
的把握认为优质花苗与培育方法有关系.
的求值和
【点睛】本题考查概率分布直方图的基础内容，二项分布的分布列和期望以及判断，难度不大，属于简单题.
（广东省六校2024届高三第三次联考理科数学试题）
19.某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到据,其频率分布直方图如下：
位教师近年每人手机月平均使用流量(单位:)的数
若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.
(Ⅰ) 从该校教师中随机抽取人,求这人中至多有人月使用流量不超过(Ⅱ) 现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下: 套餐名称
这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值
流量,资费使用.
学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由. 【答案】(1)0.784. (2) 学校订购套餐最经济. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)先求得该教师手机月使用流量不超过
的概率为
.
的,
流量,资费
元；如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值月套餐费(单位:元) 月套餐流量(单位:) 的概率；
元/次,依次类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月
利用互斥事件的概率和独立重复试验的概率求这人中至多有人月使用流量不超过
概率. (Ⅱ)先分别求出三种套餐的期望，再比较它们的大小即得解.
【详解】(Ⅰ)由直方图可知,从该校中随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量不超过
的概率为
.
”为事件, .
.
的所有可能取值为
,
,
,
,
设“从该校教师中随机抽取人,至多有人月使用流量不超过则
(Ⅱ)依题意,
当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为且所以
,
,
(元)
,
当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为且所以
,
(元)
,
的所有可能取值为,,
当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为且因为
,
(元)
,所以学校订购套餐最经济.
的所有可能取值为,
【点睛】(1)本题主要考查概率的计算，考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率，考查随机变量的期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)
…
（四川省成都市实验外国语学校2024届高三二诊模拟考试理科数学试题） 18.2024年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放志成城，40年砥砺奋进，
周年大会.
年众
… 为的均值或数学期望．
年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展得壮丽史
年变化的老照片，并从众
之间，
诗.会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放多照片中抽取了
张照片参加“改革开放
年图片展”，其作者年龄集中在
根据统计结果，作出频率分布直方图如图：
（1）求这位表）；
作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代
（2）央视媒体平台从年龄在参加“纪念改革开放
和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出来人
年图片展”表彰大会，现要从中选出人作为代表发言，设这位发
言者的年龄落在区间[45，55]的人数是，求变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）【解析】 【分析】
(1)首先可以通过频率分布直方图得出每个年龄段所对应的概率，然后通过平均数以及方差的计算公式即可得出结果；
(2)首先可以通过题意以及分层抽样的相关性质得出在
以及
年龄段的人数，然
；（2）详见解析.
后得出的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率，即可列出分布列并计算出数学期望。 【详解】
这
位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为
，
；
根据分层抽样的原理，可知这人中年龄在故可能的取值为
，
：
，
内有三人，在
内有人，
，
所以的分布列为： Y 0 ，
1 2 3 P
所以的数学期望为
。
【点睛】本题考查频率分布直方图、分布列以及数学期望的相关性质，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及根据分层抽样的原理得出每一组的人数，考查推理能力与计算能力，是中档题。
（江西省上饶市2024届高三第二次模拟考试数学（理）试题） 20.
央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下
春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内.
（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶。现在有材料、材料供选择，研究人员对附着在材料上再结晶做了对附着在材料上再结晶做了
次试验，成功
次试验，成功
次；
次.用二列联表判断：是否有的把握认
为试验是否成功与材料和材料的选择有关？ 成功 不成功
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及
胶层；②
材料 材料 石墨烯层；③银浆线路；④表面封装层。前三个环节每个环节生产合格的概率为，每个环节不合格需要修复的费用均为复的费用为附：
元；第四环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修
元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
，其中
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）补全二联表，求出
下结论即可；（2）设为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需
的修复费用，写出X的可能取值，求概率进而求得期望即可 【详解】（1）列表 成功 不成功 合计
没有
材料 材料 合计 把握认为实验是否成功与材料和材料的选择有关。
（2）设为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0，100，200，300，400，500，600，700，计算概率：
【点睛】本题考查独立性检验，离散型随机变量的均值，准确列出二联表，准确计算各随机变量的概率是关键，是基础题
（湖南师大附中2024届高三月考试题（七） 数学（理））
19.在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名. （1）求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；
（2）设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）设A表示事件：“甲选中3号歌手”，事件B表示“乙选中3号歌手”，事件C表示“丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出概率．
（2）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
【详解】设表示事件“甲同学选中3号选手”，表示事件“乙同学选中3号选手”，表示事件“丙同学选中3号选手”，则 （1）
，
，
；（2）详见解析.
所以.
（2），
可能的取值为0，1，2，3，
，
.
所以的分布列为：
的数学期望
.
0 1 2 ， ，
3 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
（河南省十所名校2024届高三尖子生第二次联合考试数学（理）试题）
18.某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示，每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下，当它在依次碰到每层的菱形挡板时，会等可能地向左或者向右落下，在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球，该小组连续进行200次试验，并统计容器中的小球个数得到柱状图：
（Ⅰ）用该实验来估测小球落入4号容器的概率，若估测结果的误差小于是成功的.试问：该兴趣小组进行的实验是否成功？（误差
，则称该实验）
（Ⅱ）再取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学
期望.（计算时采用概率的理论值） 【答案】（Ⅰ）是成功的；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出小球落入4号容器的概率的理论值（Ⅱ）直接利用二项分布求解。
【详解】解：（Ⅰ）小球落入4号容器的概率的理论值为小球落入4号容器的概率的估测值为
.
.
，问题得解.
误差为，故该实验是成功的.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，每个小球落入4号容器的概率为.
，
， ， ， .
的分布列为 由于
，所以
.
0 1 ，未落入4号容器的概率为
2 3 【点睛】本题主要考查了二项分布及其期望，考查计算能力，属于基础题。
（四川省凉山州市2024届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题）
19.火把节是彝族、白族、纳西族、基诺族、拉祜族等民族的古老传统节日，有着深厚的民俗文化内涵，被称为“东方的狂欢节”凉山州旅游局为了解民众对火把节知识的知晓情况，对西昌市区 A,B 两小区的部分居民开展了问卷调查，他们得分(满分100分)数据，统计结果如下： A小区 得分范围/分 频率
B小区
（1）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，求B小区的平均分； （2）若A小区得分在
内的人数为
人，B小区得分在
内的人数为
人，求在 A，
B 两小区中所有参加问卷调查的居民中得分不低于分的频率；
（3）为感谢大家参与这次活动袁州旅游局还对各小区参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：本小区得分低于
分的可以获得次抽奖机会，得分不低于
分的可获得次抽奖
机会，若在一次抽奖中，抽中价值为元的纪念品的概率为，抽中价值为30元的纪念品
的概率为，现有B小区市民张先生参加了此次问卷调查，记为他参加活动获得纪念品的总价值，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）【解析】 【分析】
（2）根据题干条件得到AB两个小区不低于90分的人(1)根据题干要求进行代数计算即可；
数，以及调查的总人数，做商得到结果；（3）张先生获得纪念品的总价值的可能取值为
，分别计算其对应的概率，进而得到分布列和均值.
；（2）0.08；（3）见解析
【详解】（1）设B小区的平均分为，,则
（2）A小区得分为
B小区的平均分为
（人）
（人） （人） （人） 分的频率为：
分的频率为
A小区被问卷调查的居民共有B小区得分为
分的频率为
B小区被问卷调查的居民共有A小区不低于B小区不低于
分的居民共有分的居民共有
所有参加问卷调查的居民得分不低于
（3）B小区得分不低于得分低于
分的频率为
分的频率为
张先生获得纪念品的总价值的可能取值为
，
，
的分布列：
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
（山东省泰安市2024届高三一轮复习质量检测数学（理）试题）
20.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取30次的随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的30次随堂测试成绩如下满分为100分：
把学生甲的成绩按，，，，，分成6组，列出
频率分布表，并画出频率分布直方图；
规定随堂测试成绩80分以上含80分为优秀，为帮助学生甲提高成绩，选取学生乙，对甲与乙的随堂测试成绩进行对比分析，甲与乙测试成绩是否为优秀相互独立已知甲成绩优秀的概率为
以频率估计概率，乙成绩优秀的概率为，若
，则此二人适合
为学习上互帮互助的“对子”在一次随堂测试中，记为两人中获得优秀的人数，已知
，问二人是否适合结为“对子”？
【答案】（1）直方图见解析；（2）是. 【解析】 【分析】
根据题意列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；
由题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值，求出以及【详解】分组 的值，由此得出结论．
根据成绩分组，列出频率分布表如下， 频数累计 频数 频率 频率组距 3 合计
3 9 6 6 3 30 1 画出频率分布直方图如图所示；
由当当当
知时，时，时，
，随机变量X的所有可能取值分别为0，1，2；
，
，
；
所以X的分布列为； X 0 1 2
所以X的数学期望为解得所以
；
，
，
P 所以学生甲与学生乙适合结为“对子”．
【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．
（湖南省岳阳市2024届高三第二次模拟考试数学（理）试题）
20.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.程度2024年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表： 每分钟跳绳个数 得分
17 18 19 20
（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；； （Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布方差估计总体的期望和方差，已知样本方差
，用样本数据的平均值和
（各组数据用中点值代替）.根据往年
经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
预计全年级恰有2000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望. 附：若随机变量服从正态分布
，
【答案】（I）【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据古典概率概率公式求解即可得到结果；（Ⅱ）先根据频率分布直方图得到平均数
个，结合题意得到正式测试时
，由此可预计所求人数；
率可得当分别取
由题意得
根据正态曲线的对称性可得
，根据独立重复试验的概
；（II）
;
详见解析. ，则
.
，
时的概率，然后可得分布列及期望．
【详解】（Ⅰ）设“两人得分之和不大于35分”为事件A，则事件A包括两种情况：①两人得分均为17分；②两人中1人得17分，1人得18分． 由古典概型概率公式可得
，
所以两人得分之和不大于35分的概率为．
（Ⅱ）由频率分布直方图可得样本数据的平均数为
（个）， 又由
所以正式测试时∴
．
（人），
，
，
由正态曲线的对称性可得∴
所以可预计全年级恰有2000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数为1683人． 由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5， 所以∴
．
∴ 的分布列为 ∴
．
0 1 2 3 【点睛】（1）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，中等难度． （2）利用正态曲线的对称性求概率的方法
解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机
变量的区间的关系，一般要借助图形判断、分析，解题时要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．
（广西梧州市、桂林市、贵港市等2024届高三上学期期末理科数学试题）
20.某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：
每月完成合格产品的件数（单位：百件） 频数 男员工人数
（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面 列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？
非“生产能手” “生产能手” 合计 10 7 45 23 35 18 6 1 4 1 男员工 女员工 合计
（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出超出
件的部分，累进计件单价为1.2元；
件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为
1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，
.
【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】
（1）利用列联表求得
的观测值，即可判断.
（2）设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则
，
,根据X、Y的相应取值求得Z的相应
取值时的概率，列出分布列，利用期望公式求得期望. 【详解】（1） 男员工 女员工 合计 因为所以有
的观测值
，
非“生产能手” 48 42 90 “生产能手” 2 8 10 合计 50 50 100 的把握认为“生产能手”与性别有关.
（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时， 得计件工资为
元，
，
由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为女员工实得计件工资不少于3100元的概率为
，
设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则
，
，
的所有可能取值为，，，，
所以的分布列为 故
.
0 1 2 3 ，
，
， ，
【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了二项分布及期望的求法，考查
转化思想以及计算能力．
（黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三第一次模拟考试（内考）数学（理）试题） 18.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过/度收费，超过
度的部分按
元/度收费，超过
度但不超过
度的部分按
元
度的部分按元/度收费。
（I）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；
（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这过
元的占
，求，的值；
户居民每户的用电量，
户居民中，今年1月份用电费用不超
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电
量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记为该居民用户1月份的用电费用，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）【解析】
；（2），；（3）见解析.
试题分析: （1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将解析式可得程,即可得
，即
代入（1）中函数
的方
，根据频率分布直方图可分别得到关于
;（3）取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出
每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.
试题解析:（1）当当当当当析式为
.
（2）由（1）可知，当知
，∴
时，
时，
时，；
；
，所以与之间的函数解
时，，则，结合频率分布直方图可
，
（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550， 当当当当当当
时，时，时，时，时，时，
，∴，∴
，∴，∴
，∴，∴， ，
， ，
， ，
故的概率分布列为
25 0.1 75 0.2 140 0.3 220 0.2 310 0.15 410 0.05 所以随机变量的数学期望
（河北省武邑中学2024届高三下学期第一次质检数学（理）试题）
18.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测 某項质量指标，由检测结果得到如图的頻率分布直方图：
(I)写出頻率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的貭量指标的方差分别为
，试比较
的大小（只要求写出答案）；
(Ⅱ)佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；
(Ⅲ)由頻率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布
.其中近
似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55， 38.45)的桶数，求的数学期望. 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得②若【答案】(1)【解析】 【分析】
由频率分布直方图的矩形面积和为1可得（Ⅰ）
再由分布的离散程度即可比较方差大小；
，则
;(2)0.42;(3)6.826.
，
：
.
（Ⅱ）设事件A，事件B，事件C，求出P（A），P（B），P（C）即可；
（Ⅲ）求出从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率是，求出EX即可． 0.6826，得到X～B（10，0.6826）【详解】(Ⅰ)
；
(Ⅱ)设事件：在甲公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20， 事件：在乙公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，
事件：在甲、乙公司产品中随机抽各取1颗，恰有一颗糖果的质量指标大于20，且另一个不大于20，则
（Ⅲ）计算得: 从而
，由条件得
，
，；
，
从乙公司产品中随机抽取10颗，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826， 依题意得
， .
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力，属于中档题．
（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三第五次模拟数学（理）试题）
18.2024年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：
之
（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作
代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布均数，近似为样本方差． （i）利用该正态分布，求（ii）央视媒体平台从年龄在
和；
的作者中，按照分层抽样的方法，抽出
，其中近似为样本平
了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间
，若
（1）【答案】
的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：
，
，则,
（2）；（i）0.3415；（ii）详见解析.
【解析】 【分析】
(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案； （2）（i）由(1)知，
)，从而可求出
；
（ii）可得可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出的分布列，求出其Y的数学期望.
【详解】解：（1）这100位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为
（2）（i）由（1）知，从而
（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在故可能的取值为0，1，2，3
，
， ，
；
内有3人，在
内有4人，
所以的分布列为 Y 0
1 2 3 P
所以Y的数学期望为
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型.
2024秋高三数学上学期期末试题汇编：32.离散型随机变量的分布列+期望与方差+2
