线性代数笔记
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第一章 行列式
1.3.1 行列式的性质
给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或
。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。即
(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)
性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。 可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。 以二阶为例
推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。 性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。 性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，
注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。
性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
范德蒙德行列式
例10 范德蒙行列式……
.
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)
克莱姆法则
定理1.4.1 对于n阶行列式
定理 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:
定理 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。
推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算 1、矩阵的加法
设A=（aij）m×n ，B=（bij）m×n ，则 A+B=（aij+bij）m×n
矩阵的加法适合下列运算规则： （1）交换律：A+B=B+A
（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C） （3）A+0=0+A=A
此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（aij）m×n，0=0m×n
（4）矩阵A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=0
2、矩阵的数乘
设A=（aij）m×n，K为数，则 KA=（Kaij）m×n
矩阵的数乘适合下列运算规则： （1）K（A+B）=KA+KB （2）（K+L）A=KA+LA （3）（KL）A=K（LA） （4）1*A=A
（5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。） 3、矩阵的乘法
设A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中C=Σaijbjk（j=1，n）
注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子，即A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC C（A+B）=CA+CB
（3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。
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