线性代数笔记
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线性代数笔记
第一章 行列式
1.3.1 行列式的性质
给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式,记为或
。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。即
(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)
性质2 用数k乘行列式D的某一行(列)的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行(列)的元素有公因数,则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行(列)的元素全为零,则行列式的值为0。 可以证明:任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3 行列式的两行(列)互换,行列式的值改变符号。 以二阶为例
推论3 若行列式某两行(列),完全相同,则行列式的值为零。 性质4 若行列式某两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值为零。 性质5 若行列式中某一行(列)元素可分解为两个元素的和,则行列式可分解为两个行列式的和,
注意 性质中是指某一行(列)而不是每一行。
性质6 把行列式的某一行(列)的每个元素都乘以 加到另一行(列),所得的行列式的值不变。
范德蒙德行列式
例10 范德蒙行列式……
.
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)
克莱姆法则
定理1.4.1 对于n阶行列式
定理 如果n个未知数,n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:
定理 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0,则该方程组只有零解,没有非零解。
推论 如果齐次方程组有非零解,则必有系数行列式D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算 1、矩阵的加法
设A=(aij)m×n ,B=(bij)m×n ,则 A+B=(aij+bij)m×n
矩阵的加法适合下列运算规则: (1)交换律:A+B=B+A
(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+0=0+A=A
此处0表示与A同型的零矩阵,即A=(aij)m×n,0=0m×n
(4)矩阵A=(aij)m×n,规定-A=(-aij)m×n,(称之为A的负矩阵),则有A+(-A)=(-A)+A=0
2、矩阵的数乘
设A=(aij)m×n,K为数,则 KA=(Kaij)m×n
矩阵的数乘适合下列运算规则: (1)K(A+B)=KA+KB (2)(K+L)A=KA+LA (3)(KL)A=K(LA) (4)1*A=A
(5)0*A=0(左端的零是指数0,而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。) 3、矩阵的乘法
设A=(aij)m×n,B=(bjk)n×l,则 A*B=C=(cik)m×l 其中C=Σaijbjk(j=1,n)
注意;两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数;矩阵乘法不满足交换律,即AB不一定等于BA;矩阵乘法有零因子,即A≠0(零矩阵),B≠0(零矩阵),但有可能A*B=0(零矩阵) 矩阵的乘法适合以下法则: (1)结合律:(AB)C=A(BC) (2)分配律(A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB
(3)k(AB)=(kA)B=A(kB),此处k是一个数。
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