【方法综述】
对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查.
另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等. 【解题策略】
类型一 定义新知型临界问题
【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝{C?A??C?B?,C?A??C?B?C?B??C?A?,C?A??C?B? 若A＝{1,2}，
B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于( ) A． 1 B． 3 C． 5 D． 7 【答案】B
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【举一反三】
1.【北京市顺义区2024届高三第二次统练】已知集合
，若对于 ，
1
，使得
；
成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：
；
；
．其中是“互垂点集”集合的为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】 设点对于集合所以集合对于集合所以集合对于集合所以集合
，当
是曲线上的两点， 时，
，
不成立
不是“互垂点集”. ，
，当
时，
，
不成立
不是“互垂点集”. ，当
时，
，
不成立，
不是“互垂点集”.
排除A,B,C. 故选：D
2.【陕西省2024届高三第二次检测】已知集合
，使得
①③
② ④
，若对于任意
，存在
成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
其中是“垂直对点集”的序号是________. 【答案】①③ 【解析】 对于①，
，即
，
与
的值
域均为对于②,若满足对于③
，故①正确；
，则
，在实数范围内无解，故②不正确；
2
，画出
在对于④，
，使得
的图象，如图，直角成立，故 ③正确； ，取点
始终存在，即对于任意，存
，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，
所以不是“垂直对点集”, 故④不正确，故答案为①③. 类型二 高等数学背景型临界问题
【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①②
【举一反三】【湖南省衡阳市2024届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数是亲密函数的个数为（ ） ．A．0 【答案】B 【解析】 易知幂函数
，，中，与函数
不．
B．1 C．2 D．3
定义域为，偶函数，在上，，在上，，.四个选项中函
3
数的定义域都为且都为偶函数，单调性也与增，又
，
，.故选B.
保持一致，因为递增，当
，除
显然在（显然
上递）外，
其他函数的值都趋向于
类型三 立体几何中的临界问题
立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.
【例3】点P为棱长是3的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点P满足BP?AC1，则动点P的轨迹的长度为__________． 【答案】6?
【举一反三】已知正方体ABCD?A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD?A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为（ ）
4
A． ?0,? B． ?0,? C． ?,1? D． ?,1?
?3??3??2??2?【答案】B 【解析】
?1??1??2??1?
依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，从而当0?BM?面为四边形，当BM?1时，截21时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段BM的取值范2围是?0,?，故选B．
2??1??【强化训练】 一、
选择题
2，3，且
B．10
，集合2，
，
是集合A的子集，若
，满足集合B的个数记为C．11
D．12
，则
1.已知集合 A．9 【答案】B 【解析】 由题意可得
，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合
3，，
3，，
3，，
，4，，
4，；
，5，
满足集合B的个数列罗列出来，可得：
，
4，，
4，，
5，，
5，，
故选：B．
2．【河南省郑州市2024年高三第二次质量检测】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过的最大整数，则
称为高
5
专题7.3 临界知识问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
