2024年中考数学 培优专题：
《四边形压轴专练》
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、
CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG， ①求证：△DGC≌△BGE； ②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．
2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作
AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF． （2）若∠G＝90°．
①求证：四边形DEBF是菱形；
②当AG＝4，BG＝3时，求四边形DEBF的面积．
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3．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N． （1）求证：∠BAP＝∠BGN； （2）若AB＝6，BC＝8，求
；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．
4．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示． ①线段DG与BE之间的数量关系是 ； ②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
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5．在四边形ABCD中，E为BC边中点．
（Ⅰ）已知：如图1，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB． 求证：（1）△ABE≌AFE； （2）AD＝AB+CD；
（Ⅱ）已知：如图2，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，点F，G均为AD上的点，AF＝AB，GD＝CD． 求证：（1）△GEF为等边三角形； （2）AD＝AB+BC+CD．
6．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′． （1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；
（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时． ①求∠DAQ的度数； ②若AB＝6，求PQ的长度．
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7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝3，点E在边BC上，tan∠AEC＝3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DM＝x，AN＝y． （1）求BE的长；
（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．
8．在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点
M作MN⊥CM，交AB（或AB的延长线）于点N，连接CN．
感知：如图①，当M为BD的中点时，易证CM＝MN．（不用证明）
探究：如图②，点M为对角线BD上任一点（不与B、D重合）．请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论．
应用：（1）直接写出△MNC的面积S的取值范围 ； （2）若DM：DB＝3：5，则AN与BN的数量关系是 ．
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9．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、
F分别与A、B、D对应）．
（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为 ； （2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；
（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y． （1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；
（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．
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2024年中考数学 培优专题：四边形压轴专练(含答案)
