多元函数求导法则
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第17 次课 授课时间2016年12月23日 第3～5节课 教案完成时间2016年12月16日
课程名称 专业层次 高等数学 药学四年制本科 年 级
职 称 副教授 学时 3 2016 授课方式 理论 教 员 授课题目（章，节） 基本教材、主要参考书 和相关网站 第七章 多元函数及其微分法 §3.全微分 §4. 多元复合函数与隐函数的偏导数 基本教材：《高等数学》，顾作林主编，人民卫生出版社，2011年，第五版 主要参考书：《医科高等数学》，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版 教学目标与要求： 了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念 掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法 教学内容与时间分配： 复习 5分钟 全微分概念 5分钟 可微与可导间的关系 5分钟 全微分的算法及应用 25分钟 复合函数求导法则（推广及特例4种） 40分钟 一阶全微分形式的不变性 15分钟 隐函数求导法 20分钟 小结 5分钟 教学重点与难点： 重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法 难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析 教学方法与手段： 教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。 教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。 教学组长审阅意见： 签名： 年 月 日 教研室主任审阅意见： 签名： 年 月 日 理论与实验课教案续页
基 本 内 容
教学方法手段 和时间分配
复习回顾：一元复合函数求导法则 5’ 难点 第三节 全微分及其应用 5’ 一元函数：y?f(x)，在x点可导； 5’ ?z?z 二元函数：z?f(x,y)，在(x,y)点,存在；希望全增量重点 ?x?y难点 ?z为 ?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)?A?x?B?y?o(?) （1） 讨论式 两个偏微分之和 其中A,B是不依赖于?x,?y（仅与x,y点有关）的常数，10’ 22??(?x)?(?y) 推广：三元为下面给出全微分的定义、存在的充要条件。 三个偏微分之一、全微分概念 和 启发式互动 定义：若（1）式成立，则称z?f(x,y)，在点(x,y)可微分，而A?x?B?y称为在该点的全微分（total differential），记板书 5’ 为： dz?A?x?B?y （2） 板书 10’ 二、可微与可导间的关系 通过练习加深 P222定理1（必要条件） 对方法的理解 ?z?zf(x,y)在(x,y)点全微分存在 ,存在（+连续） 10’ ?x?y“锁链法则” （（1）式成立） P223定理2（充分条件） 注意两点： A B 1）搞清函数复几点说明： 1）P222定理1为全微分存在的必要条件定理，即（1）式合关系； 2）对某个自变?z?z?z?z?A,?B； 成立?,在(x,y)点存在且量求偏导，应?x?y?x?y经过一切中间?xy22(x?y?0)变量而归结到?22x?y 2）反之不成立。反例见f(x,y)??该自变量。 22?0(x?y?0)?10’ 分段函数（即?z?dz不是?的高阶无穷小） 板书 20’ 3）反之何时成立这就是P223定理2（充分条件）（+偏导借用上图和上连续） 式 4）定理2的证明中用到拉格朗日中值定理（P80，（3-1-?z：视z为x,y2’）） ?x5）将自变量的增量?x,?y称为自变量的微分，记为的函数，固定dx,dy，从而 y，z对x求?z?zdz?dx?dy （3） 导； ?x?y?f：视z为?x 6）可以推广到多元函数（>二元） u,x,y的函三、算法 数，固定 例：求全微分。 u,y，z对x求2x2ydx?dy （1）z?ln(x2?y2)?dz?2 导。 x?y2x2?y2带入为一元函
多元函数求导法则
