4.4正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考情分析
1．考查正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．
2．结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径． 基础知识
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示
x 0－φω0 0 π－φ2π－φωπ 2 ωπ 0 3π－φ 2ω3π 2－A 2π－φ ωωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 2π 0 A 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，
T＝
2π1
叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
ωT4．图象的对称性
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： π
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称
2图形．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．
1
注意事项
1.在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝2π
周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
M－m2
，k＝
M＋m2
，ω由
ω2.由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平|φ|
移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加
ω减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3.作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．
题型一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
π???π?【例1】?设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)?ω＞0，－＜φ＜0?的最小正周期为π，且f??＝
2???4?3
. 2
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
2π
解 (1)周期T＝＝π，∴ω＝2，
ω 2
∵f??π?4???＝cos???2×π4＋φ???＝cos??π?2＋φ???＝－sin φ＝32，
∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π
3
.
(2)由(1)知f(x)＝cos??π?
2x－3???，列表如下：
2x－π ππ353－3 0 2 π 2π 3π x 0 π52116 12π 3π 12π π f(x) 12 1 0 －1 0 12 图象如图：
【变式1】 已知函数f(x)＝3sin??1π?2
x－4???，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 解 (1)列表取值：
x π35792 2π 2π 2π 2π 12x－π4 0 π2 π 32π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
3
π
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，
4再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象． 题型二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】如图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成( ) A. f(x)＝sin(1＋x) B. f(x)＝sin(－1－x) C. f(x)＝sin(x－1) D. f(x)＝sin(1－x) 答案：D
解析：设y＝sin(x＋φ)，点(1,0)为五点法作图的第三点，∴由sin(1＋φ)＝0?1＋
φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋π－1)＝sin(1－x)．
π
【变式2】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所
2示．
4
(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．
解 (1)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)， 1
即sin φ＝.
2
ππ11
∵|φ|＜，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，
261211ππ
∴ω＋＝2π，∴ω＝2. 126π??∴f(x)＝2sin?2x＋?.
6??
π
(2)设2x＋＝B，则函数y＝2sin B的对称轴方程为
6
B＝＋kπ，k∈Z，
ππ
即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
62解上式得x＝
π2
kππ
2＋6
(k∈Z)，
π?kππ?∴f(x)＝2sin?2x＋?的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． 6?26?题型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
π
【例3】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．
2
5
高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 4.4正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用学案
