任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设计
名称 执教者 基本信息 所属教材目录 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念 田国纲 课时 一课时 中等职业教育课程改革国家规划新教材(高等教育出版社)数学(基础模块 上册)P102 5.3.1《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念》 教材分析 本节是学生在初中学习了锐角三角函数,高中学习了函数的对应定义,以及幂、指、对函数后,将锐角三角函数推广到任意角三角函数, 是对集合与函数的知识的进一步渗透。 本课是数学基础模块上册第五章三角函数中第三节的第一课时。三角函数是基本初等函数,它是因变量随自变量变化现象的重要数学模型,任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数正是这一思想的体现之一,是初中相关知识的自然延续。教材采用从特殊到一般的方法,将直角三角形平移到直角坐标系中,从而将直角三角形中定义的锐角三角函数推广到任意角的三角函数。并且根据三角函数的定义,研究任意角三角函数的定义域、三角函数在各个象限的正负号以及界限角的三角函数值。为今后学习解析几何等相关知识提供有利的工具,所以学生正确的理解和掌握任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念尤为重要。 三角函数与之前学习的函数是一般与特殊的关系,三角函数置于其上位概念(即函数)之下,教学中应当注意发挥学生头脑中已有的函数对应定义,以及在幂函数、指数函数、对数函数的学习中建立的经验、思想方法的指导作用。以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础, 通过联系和类比来研究三角函数,使学生明确三角函数与幂、指、对函数的研究通性,从而明确需要研究的问题及其方法。 三角函数的教学应是一种 “逐渐分化 ”式的教学,要讲好概念,讲好知识的推展过程,讲好知识的前后联系。在保证内容体系的合理性、科学性的前提下,加强教学素材的回顾性、问题性、思想性,在知识发生发展过程中,提出恰时恰点的问题,把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程,设计成为一系列的问题,启发学生的积极主动思维。这样,可以使学生感到数学概念的形成是自然的,数学知识的发展和数学思想方法的形成也是自然的,而不是牵强和深奥的。 1、 知识与技能:理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义,掌握利用计算器求任意角的三角函数值、已知三角函数值求角、作三角函数的图像等实际操作,培养学生的计算工具使用技能。 2、 过程与方法:通过从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程。领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。 3、 情感、态度与价值观:培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观;培养学生求真务实、实事求是的科学态度。 重点 难点 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、定义域、正负符号判断法。 1、把三角函数理解为以实数为自变量的函数 2、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各个象限的正负值 学情分析 教学目标 教学重难点 教学策略与设计说明 教法分析: 我将采用探究式为主,讲练结合法为辅的教学方法。 教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。 探索与发现新知识是教学的重点 .所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫,从特殊到一般启发学生获得新知识。 学法指导: 建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动的建构知识的过程,学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。 在教学中,采用自主探索与合作交流的学习方式,让学生在问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习,认识和理解数学知识,学会学习,发展能力。 教学过程 教学环节 课前指导 复习引入、回想再认 探讨学习、建构知识 教师活动 在教学前,先指导学生利用互联网的,查找与任意角三角函数学习相关的资料 问题:初中,我们学习过锐角三角函数,(如图1)在Rt?OEB中,?E是直角,那么根据锐角三角函数的定义,?O的正弦、余弦和正切是如何定义的(通过提问,帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义) B O E 强调:只要角度确定了,无论角的边长如何改变,正弦、余弦和正切值都已经确定了。每一个确定的锐角,都有相应的唯一的正弦值、余弦值和正切值与之对应。因此,锐角三角函数是以角为自变量,以边长的比值为函数值的函数。 上节课,我们已经把锐角推广到了任意角,今天锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗试试看,可以独立思考和探索,也可以互相讨论! 问题1:今天我们能否继续在直角三角形中定义任意角的三角函数 问题2:(追问)在上节课,我们是如何将锐角的概念推广到任意角的 设计意图 学生活动 百度搜索: 任意角的自主预习本课基本正弦函数、余弦函数和知识点,初步了解基础知识。 正切函数的概念。 温故待新 对边|PM|y sin??=?斜边|OP|r 邻边|OM|x cos??=?斜边|OP|r 对边|PM|y tan??=?邻边|OM|x 回忆函数的性质 唤醒学生对函数的认识 打开【百度搜索】: 小组讨论: 每组汇总结论,陈述理由 小组讨论: 每组汇总结论,陈述理由 引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数。 进一步引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数。 网络上课件 把锐角?放置于直角坐标系(角的顶点与原点重合,角的始边与x轴非负轴重合),在直角坐标系中,在角?终边上任取一点B,作BE?x轴于E,构造一个RT?OEB,则?EOB???的(锐角)设B(a,b)(a?0,b?0),邻边OE?a、对边EB?b,斜长 |OB|?r?a2?b2 问题3:我们知道,借助平面直角坐标系,就可以将几何问题代数化,如将点用坐标表示出来,把线段的长用坐标算出来。那我们能否在平面直角坐标系中,用角的终边上的点的坐标来表示三角函数定义式中的三条边长呢 EBbsin???, rrOBacos???, rrEBbtan??? OEa 问题4:既然我们已经可以用终边上的点的坐标(比值)来表示锐角三角函数,那如果终边不在第一象限,也就是角?不再是锐角时,我们可以用这种方法定义任意角三角函数吗 教师打开启动《math3d 》,展示不同象限的角。 教师引导学生一起归纳: 【定义】设a是平面直角坐标系中的一个任意角,点B(x,y)是角?终边上任一点,B与原点O之间的距离记作r(r?x2?y2?0),那么角?的正弦、余弦和正切分别定义 学生一起探讨将锐角三角形放到直角坐标系中研究(如图2) 学生分组讨论 结论:在平面直角坐标系中考察锐角三角形,可以用终边上的点的坐标(比值)来表示锐角三角函数。任意角三角函数定义“再创造”: 学生互相讨论,发言。 自主学习,集体探究 展开想象,大胆创新 为: 正弦:sin??yr 余弦:cos??xr yx 正切: tan??为使学生更深刻领会任意角三角函数的定义,引导学生思考如下两个问题: 问题5:比值会随着点B在终边的位置改变而改变吗 打开《math3d 》(如图3), 联系相似三角形知识,探索发现,得出“对于角?的每一个确定值,三个比值都是确定的,不会随B在终边上的移动而变化”。 问题6:角?大小发生变化时,比值会改变吗 打开《 math3d 》动画演示(如图4)。 图4
观察,体验 先由学生自由发表意见 学生观察三角函数值的变化 这样的处理,不仅保持了学生一定的思考能力,还有助于学生克服认识上的困难,既用坐标定义了三角函数,又解决了在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题,并形成正确的认识 培养过程思维,强化函数两个变量之间的变化关系 在各个象限内旋转角?的终边,改变角?的大小。 结论:函数值随?的变化而变化. 教师强调: (1)sin?表示sin与?的乘积吗不是,sin?是函数记号,是一个整体,相当于函数记号f(x),其它几个三角函数也如此。 (2)对于每一个确定的?值,其正弦、余弦及正切(当x?0)都分别对应一个确定的比值。因此,正弦、余弦及正切都是以?为变量的函数,分别叫做正弦函数、余弦函数及正切函数,它们都是三角函数。 由任意角三角函数的定义可以看出,当角?的终边在y轴上,2的横坐标x的值都等于0,此时ytan??无意义。因此,正弦函数、x余弦函数及正切函数的定义域如下表所示: 三角函数 定义域 sin? R cos? R ????k?,k?z,终边上任意一点tan? ???2?k?,k?z 在弧度制下,?的度量值是一个实数,因此,三角函数是以实数为自变量的函数。 注意函数符号意义 利用函数定义理解三角函数概念 培养个性思维 通《math3d 》的动态演示,使本节课学习的重点得到更好的理解,也可以帮助学生突破难点。 强化函数定义 记忆三角函数定义域 例题:已知角a的终边经过点小组共同完成 p(2,?3),求角a的正弦、余弦、 知识运用 正切值。 分析:已知角a的终边上一点p的坐标,求角a的某个三角函数值的时候,首先要根据关系式r?x2?y2,求出点p到坐标原点的距离r,然后根据三角函数定义进行计算。 解:因为x?2,y??3,所以例题精讲,巩固应用 r?22?(?3)2?13 因此sina?y?3313 ???r1313x2213 ??r1313cosa?练习巩固、理解记忆 y3?? x2基础练习: 学生个人完成,小组核增强相互协作精(1)已知角a的终边经过点P(-3,对 神 -1),求a的三个三角函数值。 (2)已知角a的终边经过点P(-2, tana?3),求sina,cosa的值。 提高练习:若点p(12,m)是角a终边上一点,且tana?5,求sina和12cosa的值。 分享交流总结 小组讨论:学习心得,学会了什么哪些还不懂。 布置作业 课外练习:【百度搜索】 板书设计 任意角的正弦函数、例题讲解: 余弦函数和正切函数的概念: 强调: 引言及设计理念 教材分析 学情分析 教学分析 教学目标 教学重难点 练习讲解: 知识与技能 过程与方法 情感与价值观 教法分析 教学策略与设计说明 学法指导 课前指导 复习引入、回想再认 教学设计流程图 问题讨论 知识迁移 探讨学习、建构知识 教学过程 问题引导 知识总结 观察,分析 例题精讲,巩固应用 练习巩固、理解记忆 分享交流总结 布置作业 板书设计 教学反思 总结 教学反思 本教案设计,我借助互联网进行数学知识挖掘,提高教师个人对教材内容和教学方法的理解;并充分考虑职中学生的特点,延伸课堂,利用互联网的巨大资源库,为学生提供更多更好的学习机会。做得比较成功的地方有: 1、利用现代技术手段,使枯燥的数学知识生动化,提高学生学习数学的兴趣,教给学生更科学的学习方法。 2、采用以“由旧信新,由易到难”的思路开展教学,指导学生通过讨论、难证去探求知识,体验三角函数概念的产生、发展过程。 3、借助了互联网、几何画板等手段,课内恰当地借助网上课件、视频等资源,降低教学难度,扩阔学生的知识层面,提高课堂教学效率。使学生从锐角三角函数的边的比值拓展到终边上的坐标比值,使这个教学的难点得以突破。 以后要进一步加强的地方是: 1、如何督促学生在课外也进行积极的学习与探讨,是要作进一步的思考,从学生课堂反应来看,部分学生在课外没有进行学习。 2、克服学生畏难情绪,使他们能乐于学习,跟随教师思绪共同探讨,共同学习。 3、创设多种形式的学习环境,树立学生学习信心,也是中职数学课堂需要考虑的问题。
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