任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设计

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设计

名称 执教者 基本信息 所属教材目录 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念 田国纲 课时 一课时 中等职业教育课程改革国家规划新教材（高等教育出版社）数学（基础模块 上册）P102 5.3.1《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念》 教材分析 本节是学生在初中学习了锐角三角函数，高中学习了函数的对应定义，以及幂、指、对函数后，将锐角三角函数推广到任意角三角函数， 是对集合与函数的知识的进一步渗透。 本课是数学基础模块上册第五章三角函数中第三节的第一课时。三角函数是基本初等函数，它是因变量随自变量变化现象的重要数学模型，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。教材采用从特殊到一般的方法，将直角三角形平移到直角坐标系中，从而将直角三角形中定义的锐角三角函数推广到任意角的三角函数。并且根据三角函数的定义，研究任意角三角函数的定义域、三角函数在各个象限的正负号以及界限角的三角函数值。为今后学习解析几何等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念尤为重要。 三角函数与之前学习的函数是一般与特殊的关系，三角函数置于其上位概念（即函数）之下，教学中应当注意发挥学生头脑中已有的函数对应定义，以及在幂函数、指数函数、对数函数的学习中建立的经验、思想方法的指导作用。以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础， 通过联系和类比来研究三角函数，使学生明确三角函数与幂、指、对函数的研究通性，从而明确需要研究的问题及其方法。 三角函数的教学应是一种 “逐渐分化 ”式的教学，要讲好概念，讲好知识的推展过程，讲好知识的前后联系。在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教学素材的回顾性、问题性、思想性，在知识发生发展过程中，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程，设计成为一系列的问题，启发学生的积极主动思维。这样，可以使学生感到数学概念的形成是自然的，数学知识的发展和数学思想方法的形成也是自然的，而不是牵强和深奥的。 1、 知识与技能：理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，掌握利用计算器求任意角的三角函数值、已知三角函数值求角、作三角函数的图像等实际操作，培养学生的计算工具使用技能。 2、 过程与方法：通过从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程。领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。 3、 情感、态度与价值观：培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观；培养学生求真务实、实事求是的科学态度。 重点 难点 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、定义域、正负符号判断法。 1、把三角函数理解为以实数为自变量的函数 2、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各个象限的正负值 学情分析 教学目标 教学重难点 教学策略与设计说明 教法分析： 我将采用探究式为主，讲练结合法为辅的教学方法。 教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。 探索与发现新知识是教学的重点 .所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识。 学法指导： 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。 在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。 教学过程 教学环节 课前指导 复习引入、回想再认 探讨学习、建构知识 教师活动 在教学前，先指导学生利用互联网的，查找与任意角三角函数学习相关的资料 问题：初中，我们学习过锐角三角函数，（如图1）在Rt?OEB中，?E是直角，那么根据锐角三角函数的定义，?O的正弦、余弦和正切是如何定义的（通过提问，帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义） B O E 强调：只要角度确定了，无论角的边长如何改变，正弦、余弦和正切值都已经确定了。每一个确定的锐角，都有相应的唯一的正弦值、余弦值和正切值与之对应。因此，锐角三角函数是以角为自变量，以边长的比值为函数值的函数。 上节课，我们已经把锐角推广到了任意角，今天锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！ 问题1：今天我们能否继续在直角三角形中定义任意角的三角函数 问题2：（追问）在上节课，我们是如何将锐角的概念推广到任意角的 设计意图 学生活动 百度搜索: 任意角的自主预习本课基本正弦函数、余弦函数和知识点，初步了解基础知识。 正切函数的概念。 温故待新 对边|PM|y sin??＝?斜边|OP|r 邻边｜OM|x cos??＝?斜边|OP|r 对边｜PM|y tan??＝?邻边|OM|x 回忆函数的性质 唤醒学生对函数的认识 打开【百度搜索】： 小组讨论： 每组汇总结论，陈述理由 小组讨论： 每组汇总结论，陈述理由 引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数。 进一步引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数。 网络上课件 把锐角?放置于直角坐标系（角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负轴重合），在直角坐标系中，在角?终边上任取一点B，作BE?x轴于E，构造一个RT?OEB，则?EOB???的（锐角）设B(a,b)(a?0,b?0)，邻边OE?a、对边EB?b，斜长 |OB|?r?a2?b2 问题3：我们知道，借助平面直角坐标系，就可以将几何问题代数化，如将点用坐标表示出来，把线段的长用坐标算出来。那我们能否在平面直角坐标系中，用角的终边上的点的坐标来表示三角函数定义式中的三条边长呢 EBbsin???， rrOBacos???， rrEBbtan??? OEa 问题4：既然我们已经可以用终边上的点的坐标（比值）来表示锐角三角函数，那如果终边不在第一象限，也就是角?不再是锐角时，我们可以用这种方法定义任意角三角函数吗 教师打开启动《math3d 》，展示不同象限的角。 教师引导学生一起归纳： 【定义】设a是平面直角坐标系中的一个任意角，点B(x,y)是角?终边上任一点，B与原点O之间的距离记作r（r?x2?y2?0），那么角?的正弦、余弦和正切分别定义 学生一起探讨将锐角三角形放到直角坐标系中研究（如图2） 学生分组讨论 结论：在平面直角坐标系中考察锐角三角形，可以用终边上的点的坐标（比值）来表示锐角三角函数。任意角三角函数定义“再创造”： 学生互相讨论，发言。 自主学习，集体探究 展开想象，大胆创新 为： 正弦：sin??yr 余弦：cos??xr yx 正切： tan??为使学生更深刻领会任意角三角函数的定义，引导学生思考如下两个问题： 问题5：比值会随着点B在终边的位置改变而改变吗 打开《math3d 》（如图3）， 联系相似三角形知识，探索发现，得出“对于角?的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随B在终边上的移动而变化”。 问题6：角?大小发生变化时，比值会改变吗 打开《 math3d 》动画演示（如图4）。 图4

观察，体验 先由学生自由发表意见 学生观察三角函数值的变化 这样的处理，不仅保持了学生一定的思考能力，还有助于学生克服认识上的困难，既用坐标定义了三角函数，又解决了在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，并形成正确的认识 培养过程思维，强化函数两个变量之间的变化关系 在各个象限内旋转角?的终边，改变角?的大小。 结论：函数值随?的变化而变化. 教师强调： （1）sin?表示sin与?的乘积吗不是，sin?是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f(x)，其它几个三角函数也如此。 （2）对于每一个确定的?值，其正弦、余弦及正切（当x?0）都分别对应一个确定的比值。因此，正弦、余弦及正切都是以?为变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数及正切函数，它们都是三角函数。 由任意角三角函数的定义可以看出，当角?的终边在y轴上，2的横坐标x的值都等于0，此时ytan??无意义。因此，正弦函数、x余弦函数及正切函数的定义域如下表所示： 三角函数 定义域 sin? R cos? R ????k?,k?z，终边上任意一点tan? ???2?k?,k?z 在弧度制下，?的度量值是一个实数，因此，三角函数是以实数为自变量的函数。 注意函数符号意义 利用函数定义理解三角函数概念 培养个性思维 通《math3d 》的动态演示，使本节课学习的重点得到更好的理解，也可以帮助学生突破难点。 强化函数定义 记忆三角函数定义域 例题：已知角a的终边经过点小组共同完成 p(2,?3)，求角a的正弦、余弦、 知识运用 正切值。 分析：已知角a的终边上一点p的坐标，求角a的某个三角函数值的时候，首先要根据关系式r?x2?y2，求出点p到坐标原点的距离r，然后根据三角函数定义进行计算。 解：因为x?2,y??3，所以例题精讲，巩固应用 r?22?(?3)2?13 因此sina?y?3313 ???r1313x2213 ??r1313cosa?练习巩固、理解记忆 y3?? x2基础练习： 学生个人完成，小组核增强相互协作精（1）已知角a的终边经过点P（-3，对 神 -1），求a的三个三角函数值。 （2）已知角a的终边经过点P（-2， tana?3），求sina,cosa的值。 提高练习：若点p(12,m)是角a终边上一点，且tana?5，求sina和12cosa的值。 分享交流总结 小组讨论：学习心得，学会了什么哪些还不懂。 布置作业 课外练习：【百度搜索】 板书设计 任意角的正弦函数、例题讲解： 余弦函数和正切函数的概念： 强调： 引言及设计理念 教材分析 学情分析 教学分析 教学目标 教学重难点 练习讲解： 知识与技能 过程与方法 情感与价值观 教法分析 教学策略与设计说明 学法指导 课前指导 复习引入、回想再认 教学设计流程图 问题讨论 知识迁移 探讨学习、建构知识 教学过程 问题引导 知识总结 观察，分析 例题精讲，巩固应用 练习巩固、理解记忆 分享交流总结 布置作业 板书设计 教学反思 总结 教学反思 本教案设计，我借助互联网进行数学知识挖掘，提高教师个人对教材内容和教学方法的理解；并充分考虑职中学生的特点，延伸课堂，利用互联网的巨大资源库，为学生提供更多更好的学习机会。做得比较成功的地方有： 1、利用现代技术手段，使枯燥的数学知识生动化，提高学生学习数学的兴趣，教给学生更科学的学习方法。 2、采用以“由旧信新，由易到难”的思路开展教学，指导学生通过讨论、难证去探求知识，体验三角函数概念的产生、发展过程。 3、借助了互联网、几何画板等手段，课内恰当地借助网上课件、视频等资源，降低教学难度，扩阔学生的知识层面，提高课堂教学效率。使学生从锐角三角函数的边的比值拓展到终边上的坐标比值，使这个教学的难点得以突破。 以后要进一步加强的地方是： 1、如何督促学生在课外也进行积极的学习与探讨，是要作进一步的思考，从学生课堂反应来看，部分学生在课外没有进行学习。 2、克服学生畏难情绪，使他们能乐于学习，跟随教师思绪共同探讨，共同学习。 3、创设多种形式的学习环境，树立学生学习信心，也是中职数学课堂需要考虑的问题。