第七节 直接证明与间接证明
知识梳理 一、直接证明
1．综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(结论)．
特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法．
2．分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知)．
特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法． 二、间接证明
假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．
1．反证法的解题步骤：否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论． 2．反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立．
3．反证法证明一个命题常采用以下步骤： (1)假定命题的结论不成立；
(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛
盾；
(3)由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的； (4)肯定原来命题的结论是正确的，即“反设—归谬—结论”． 4．一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：
第一，问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；
第二，命题是以否定命题的形式叙述的； 第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；
第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的． 基础自测
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是( ) A．t＞s B．t≥s C．t＜s D．t≤s 2
解析：因为s－t＝a＋b＋1－a－2b＝(b－1)≥0，所以s≥t. 答案：D
2．对任意的锐角α，β，下列不等式成立的是( ) A．sin(α＋β)>sin α＋sin β B．cos(α＋β)>cos α＋cos β C．cos(α＋β) 11112 3．定义运算法则如下：ab＝a＋b，a?b＝lg a－lg b.若M＝2 2324＝2? 1 ，则M＋N＝________________. 25 125 ，N8 2 2 1 解析：由定义运算法则可知，M＝2 4 125 125 ＝8 3125359＋ ＝＋＝4， 4822 N＝2?＝lg(2)2－lg??＝lg 2＋lg 5＝1， 25 ∴M＋N＝5. 答案：5 4．(2013·保定模拟)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P、Q的大小关系是__________． 解析：分析法，要证P 2 ?1?1??2 1 1．(2012·新课标全国卷)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱 2 AA1的中点，DC1⊥BD. (1)证明：DC1⊥BC； (2)求二面角A1BDC1的大小． (1)证明：在Rt△DAC中，AD＝AC，得 ∠ADC＝45°. 同理：∠A1DC1＝45°?∠CDC1＝90°， 得：DC1⊥DC.又DC1⊥BD， DC∩BD＝D?DC1⊥平面BCD?DC1⊥BC. (2)解析：DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1?BC⊥平面ACC1A1?BC⊥AC. 取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H. A1C1＝B1C1?C1O⊥A1B1，平面A1B1C1⊥平面A1BD?C1O⊥平面A1BD?C1O⊥BD. OH⊥BD，C1O∩OH＝O?BD⊥平面C1OH?C1H⊥BD得：点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1BDC1的平面角． 设AC＝a，则C1O＝ 2a，C1D＝2a＝2C1O?∠C1DO＝30°， 2 即二面角A1BDC1的大小为30°. 2．(2013·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． (1)证明：由|a－b|＝2，即(cos α－cos β)＋(sin α－sin β)＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a·b＝0，因此a⊥b. ??cos α＋cos β＝0， (2)解析：由已知条件? ?sin α＋sin β＝1，? 2 2 又0<β<α<π， cosβ＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1， 1π5π 所以sin α＝，得α＝或α＝， 266π5π 当α＝时，β＝(舍去)， 665ππ 当α＝时，β＝. 66 1．(2013·惠州一模)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点． (1)证明：MN∥平面A1ACC1； (2)求二面角NMCA的正弦值． (1)证明：如图所示，取A1B1的中点P，连接MP，NP. 又因为点M，N分别为A1B和B1C1的中点，所以NP∥A1C1，MP∥B1B，因为NP?平面MNP，A1C1?平面MNP，所以NP∥平面A1ACC1； 同理MP∥平面A1ACC1； 又MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面A1ACC1； 所以MN∥平面A1ACC1； (2)解析：侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB，A1A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如图所示
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第七节直接证明与间接证明 理
