数学《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．已知定义在R上的函数f?x?满足f?3?2x??f?2x?1?,且f?x?在[1, ??)上单调递增,则（ ）
???f?log0.5??f?4? B．f?0. 2??f?4??f?log0.5?
f?4??f?0.2??f?log0.5? C． f?log0.5??f?0.2??f?4? D． A．f0. 20.31.130.31.131.10.330.31.13【答案】A 【解析】 【分析】
由已知可得f?x?的图象关于直线x?1对称.因为0.20.3?1?log30.5?1?41.1?1，又
f?x?在[1,??)上单调递增,即可得解.
【详解】
解：依题意可得,f?x?的图象关于直线x?1对称. 因为0.2则0.20.30.3??0,1?,log30.5?? log32??? 1,0?,41.1??4,8?,
?1?log30.5?1?41.1?1，
又f?x?在[1,??)上单调递增, 所以f0.2故选:A. 【点睛】
本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.
?0.3??f?log0.5??f?4?.
1.13
2．已知f(x)?13523x?ax?6ax?b的两个极值点分别为x1,x2?x1?x2?，且x2?x1，322则函数f(x1)?f(x2)?（ ） A．?1 【答案】B 【解析】 【分析】
求出函数的导数，利用韦达定理得到a,x1,x2满足的方程组，解方程组可以得到a,x1,x2，
B．
1 6C．1 D．与b有关
从而可求f?x1??f?x2?． 【详解】
f'?x??x2?5ax?6a，故x1?x2?5a，x1x2?6a，且25a2?24a?0，
又x2?3x1，所以x1?2a,x2?3a，故6a?6a2，解得a?0（舎）或者a?1． 21352x?x?6x?b， 32此时x1?2,x2?3， f?x??故f?x1??f?x2??故选B． 【点睛】
151??8?27???4?9??6?2?3?? 326如果f?x?在x0处及附近可导且x0的左右两侧导数的符号发生变化，则x?x0必为函数的极值点且f?x0??0．极大值点、极小值点的判断方法如下：
（1）在x0的左侧附近，有f'?x??0，在x0的右侧附近，有f'?x??0，则x?x0为函数的极大值点；
（2）在x0的左侧附近，有f'?x??0，在x0的右侧附近f'?x??0，有，则x?x0为函数的极小值点．
3．已知f?x??lnx，则下列结论中错误的是（ ） xB．f?2??f?4? D．log20242024?A．f?x?在?0,e?上单调递增 C．当0?a?b?1时，ab?ba 【答案】D 【解析】 【分析】
2024 20241?lnx,x?(0,??)，可得f?x?在?0,e?上单调递增，在?e,???上单调递2x减，进而判断得出结论. 【详解】
根据f?(x)?Qf?(x)?1?lnx,x?(0,??) x2?对于选项A，可得f?x?在?0,e?上单调递增，在?e,???上单调递减，故A正确；
ln4ln22ln2对于选项B，f?4?????f(2)，故B正确；
442对于选项C，由选项A知f?x?在?0,1?上也是单调递增的，Q0?a?b?1，
?lnalnb?，可得ab?ba，故选项C正确； ab对于选项D，由选项A知f?x?在?e,???上单调递减，
?f(2024)?f(2024)，即
故选项D不正确. 故选：D 【点睛】
ln2024ln20242024ln2024????log20242024， 202420242024ln2024本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
44－x2
4．已知函数f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两
kx
点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为
8，＋∞） 5【答案】B 【解析】 【分析】
A．（的取值范围． 【详解】 由题得f′（x）=0）
B．（
16，＋∞） 5C．[
8，＋∞） 5D．[
16，＋∞） 5利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2
k?4?4?4??x2??k??x?4x?k??x??4?=﹣k?k?，（x＞0，k＞k﹣2﹣1=﹣??xxx2x2由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），
444k?即k?4﹣1=k﹣2﹣1，
x2x1x12x2k?化简得4（x1+x2）=（k+而x1x2＜(4）x1x2， kx1?x22)， 24（x1+x2）＜（k+
x?x224)， ）(1k216即x1+x2＞
k?4对k∈[4，+∞）恒成立， k令g（k）=k+
4， k则g′（k）=1﹣
4?k?2??k?2?=＞0对k∈[4，+∞）恒成立， 2k2k∴g（k）≥g（4）=5， ∴
164≤， k?5k16， 516∴x1+x2＞
故x1+x2的取值范围为（故答案为B 【点睛】
16，+∞）. 5本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2?x)?f(2?x)，且当x?2时，
x?f?(x)?f(x)?2f?(x)，若f(1)?1.则不等式f(x)?A．(2,3) 【答案】C 【解析】 【分析】
B．(??,1)
1的解集是（ ） x?2D．(??,1)??3,???
C．(1,2)??2,3?
令F(x)?|x?2|f(x)，当x?2时，则F(x)?(x?2)f(x)，利用导数可得当x?2时，
F(x)单调递增，根据题意可得F(x)的图象关于x?2对称，不等式f(x)?1等价
|x?2|于|x?2|f(x)?1(x?2)，从而F(x)?F(1)，利用对称性可得|x?2|?|1?2|，解不等式即可. 【详解】
当x?2时，x?f?(x)?f(x)?2f?(x)，∴(x?2)f?(x)?f(x)?0， 令F(x)?|x?2|f(x).
当x?2时，则F(x)?(x?2)f(x)，F?(x)?(x?2)f?(x)?f(x)?0， 即当x?2时，F(x)单调递增.
函数f(x)满足f(2?x)?f(2?x)，
所以F(2?x)?F(2?x)，即F(x)的图象关于x?2对称， 不等式f(x)?1等价于|x?2|f(x)?1(x?2)， |x?2|F(1)?|1?2|f(1)?f(1)?1，即F(x)?F(1)，
所以|x?2|?|1?2|，解得1?x?3且x?2，解集为(1,2)U(2,3). 故选：C 【点睛】
本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.
6．三个数a?A．b 11??221a?2???lne3，由于?e3??e2， e63??2ln3，b?ln2，c?的大小顺序为( ) 2e3B．b C．c D．a 1?b?c，由此得出三者的大小关系. 36??26?23?8，所以e3?2，所以 6111111????113?lne3?ln2，即a??b.而?22??2?8,?33??32?9，所以22?33，所以 33????11ln2?ln3?ln33，即b?c，所以a?b?c. 3故选：D 【点睛】 126本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题. 7．已知定义在R上的函数f(x)满足f?0??1，且f(x)的导函数则不等式f?lnx??ln?ex?的解集为（ ） A．?0,1? 【答案】A 【解析】 【分析】 B．?1,e? C．?0,e? D．?e,??? f'(x)满足f'(x)?1，
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