原子弹爆炸的能量估计与量纲分析
一、 问题提出
1945年7月16日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。这一事件令全球震惊。由此开始了一个新的时代。
当时，有关原子弹的所有资料都是保密的，一般人无法知道。两年后，美国政府首次公布了这次爆炸的录像带，但是仍未公布任何数据。
英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。
Taylor建立数学模型的数据来源如下：
表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)
现在我们要在Taylor所使用的数据的基础上，运用量纲分析法建立计算原子弹爆炸能量的数学模型。
二、 模型假设
1. 原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸的核反应过程。 2. 原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的形式表现出来。不考虑其它（如
辐射）的影响。
3. 只考虑冲击波的动力学特征。
4. 冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表征。
三、 符号说明
医学参照#
1
符号 t r E ? P 说明 时间（s） 半径（m） 能量（J） 空气密度（kg/m） 大气压强（Pa） 3四、 问题分析
首先，我们从题目叙述中可以得知，因为缺乏详实的的数据资料，我们不能从从爆炸录像中去推断原子弹爆炸的全过程，从而用能量转化等规律去分析爆炸产生的能量较困难。
其次，爆炸产生的能量主要是以冲击波和辐射的方式向外扩散，这在录像当中是看不到的。一般地，爆炸产生的冲击播以爆炸点为中心呈球面向四周传播。爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波就会传的越远。而冲击波又可以通过爆炸形成的“蘑菇云”表现出来。
据此我们我们可以推断出：爆炸形成的“蘑菇云”的半径与时间有关，与能量有关，还与“蘑菇云”周围的空气密度有关，与大气压强有关。从而可以通过量纲分析法确定这些量之间的函数关系。
五、 模型建立与求解 1) 模型建立
根据上文得出结论，使用量纲分析法来尝试建立数学模型。根据Pi定理，设爆炸中，冲击波的半径r、时间t、能量E、空气密度?、大气压强P满足的一般
函数形式为：
（1）
由于爆炸是在瞬时间完成的，不考虑爆炸过程所需时间。故只考虑能量释放后的冲击波传播的物理过程。所以这是一个动力学问题，取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，则（1）中各个物理量的量纲分别是：
医学参照#
2
f(r,t,E,?,P)?0
[r] = L, [t] = T, [E] = LMT, [?] = LM, [P] = LMT
由此得到量纲矩阵为： 102?3?1??
? A3?5??00111??
? ?01?20?2??
因为Rank（A）= 3齐次方程Ay = 0有m - r = 5 – 3 = 2 个基本解，即方程组有无穷多个解。
设其中的两个基本解为： Ty?(1,?2/5,?1/5,1/5,0)
y?(0,6/5,?2/5,?3/5,1)T
根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量
?2/5?1/51/52-2-3-1-2
1/5??rtE??r()1 （2） 2?
tE65tP1/56/5?2/5?3/5?2?tE?P?(23) （3）
E?
且存在某个函数F使得
（4）
与（1）等价。取（4）的特殊形式?1??(?2)，由（2）、（3）可得
65tP1/51/5r(2)＝?(23) （5） tEE?
F(?1,?2)=0?265
1/51/5（6） 23tEtPr＝()?()?E?医学参照# 3
数学建模——原子弹爆炸的能量估计(医学参照)
