《等差数列前n项和公式》教学案例分析
【教学案例】:
一、教学设计思想
在以往的教学中,课堂教学实施往往过于注重知识传授倾向,学生被动地接受,很难从多方面培养学生的综合素质。而本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。
本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组,个性化地处理教材使职中的学生更便于接受和理解。为了体现个性化教学的教学理念,在教法上,采用了以学生为主体,以问题为中心,以老师为引导,以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化,让学生在探究中展现个性,在合作中促进学生的个性发展。
在教学中通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
二、学生情况与教材分析
1、学生通过上一节的学习,已经了解了等差数列的定义,基本上掌握了通项公式,会运用等差数列的通项公式进行解题,因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课;
2、几何能直观地启迪思路,帮助理解,特别是对于职中类学生,他们对知识的理解还是处于模糊阶段,因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。因此在教学中,要鼓励学生借助几何直观进行思考,揭示研究对象的性质和关系,从而渗透了数形结合的数学思想。
3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程,应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习,认识和理解数学知识,学会发现问题并尝试解决问题,在学习活动中进一步提升自己的能力。
三、教学目标
1、知识目标
(1)掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法;
(2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
2、能力目标
经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3、情感目标
通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
四、教学重点、难点
1、等差数列前n项和公式是重点。
2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
五、教学流程图
六、教学过程
1、引入新课
(1)复习 师:上一节课中,我们学习了等差数列的定义及通项公式,知道了“公差d=,通项公式an=”(见黑板)
生:(回答黑板上的问题)
(2)故事引入
师:那等差数列的前n项和怎样求?今天,我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和,我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时,老师出了这样一道题“1+2+3、、、、、+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢?下面给同学们一点时间来挑战高斯。
生:5050
师:看来我们班还是有不少高斯的。继续努力,说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。 生:(说明如何进行首尾配对进行求和的。) 师:根据等差数列的特点,首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过,对于以下的题,“例:求等差数列8、5、2、、、、的前20项的和”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。
2、探究等差数列前n项和公式一
师:下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。
(学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。)
师:如何求?
生:利用刚才的方法.(略)
师:想一想,除了刚才的首尾配对求和的方法外,还有没有其他的方法呢?
(课件演示:引导学生设想,如果将钢管倒置,能得到什么启示)
生:每一层都和上一层是一样多的。一共有8层,所以为8×(4+11),但一共有两堆,所以为s8?
师:那如果如下图所示共有n层,第一层为a1,第n层为an,请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和sn等于多少? 生:sn?8?(4?11) 2n(a1?an) 2
师:这个猜想对不对呢?下面我们用所学过的知识一起来证明一下。
板书:sn?a1?a2?a3?…?an
即sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?…?[a1?(n?1)d]
把上式的次序反过来又可以写成
sn?an?(an?d)?(an?2d)?…?[an?(n?1)d]
两式相加:
2sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)?…?(a1?an)?n(a1?an)
所以sn?
看来,我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。
3、学生合作学习,运用公式一解题,并从练习中探索得到求和公式二。
学生练习一:1、在等差数列{an}中,已知a1=1,a10=8,求s10
2、求正整数列是前1000个数的和;
学生小组合作练习,分组进行交流。
师:看来,大家对公式的掌握还是不错的。下面,我们再来看一道练习。
学生练习二:在等差数列{an}中,已知a1=1,d=-2,求s10;
学生思考,并讨论解答。
学生讲解如何进行求解这题。
师:刚才那道题给出了a1,d和n=10,a10没有给出,但我们一样可以将s10求出,
那我们能不能直接由a1,d和n,得到an呢?
学生根据求和公式一和通项公式导出公式二:
n(a1?an) 2sn?na1?n(n?1)d 2
学生练习三:求正整数中前500个偶数的和(用多种方法求解)
学生讨论解答此题,并请学生上台讲解。
4、总结
师:今天,大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一,并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二,希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。
【教学反思】:
综观本节课,存在有特点主要有以下几点:
1、合理地对教材进行了个性化处理,挖掘了教材中可探究的因素,促使学生探究、推导。例如:等差数列前n项和的公式一,是通过具体的例子,引到一般的情况,激励学生进行猜想,再进行论证得出;而第二个公式并不象书本上那样直接给出,而是让学生从习题中进行归纳总结得到的。这样处理教材,使学生的思维得到了很大的锻炼。
2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法,同时采用设计变式题的教学手段进行教学,通过具体问题的引入,使学生体会数学源于生活,创设情境,重在启发引导,使学生由浅到深,由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3、在教学中,鼓励学生借助几何直观进行思考,揭示研究对象的性质和关系,渗透了数形结合的数学思想。
(完整版)《等差数列前n项和公式》教学案例
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