新博士教育高二数学摸底试卷 姓名： 得分： 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
77y?C11?C111．若Cx，则x,y的值分别是 （ ）
A．x?12,y?6 B．x?11,y?7 C．x?11,y?6 D．x?12,y?7
2．已知直线m?平面?，直线n?平面?，给出下列四个命题：
①若?//?，则m?n； ③若m//n，则???；
②若???，则m//n； ④若m?n，则?//?.
（ ）
其中正确的命题有 A．③④
B．①③
C．②④
D．①②
3．5个人排成一排，若A、B、C三人左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有（ ）
5A．A5
33?A3B．A3
5C．A5
3A33D．A3
4．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5
位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为
A．
（ ）
1 10B．
1 20C．
1 40D．
1 1205．一颗骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，若以连续掷两次骰子分别得到的 点数m、n作为P点坐标，则点P落在圆x2?y2?16内的概率为
A．1
9（ ）
B．2
9C．1
3D．4
96．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球． A1表示第一次摸得白球，A2
表示第二次摸得白球，则
A1与A2是
C．对立事件
（ ）
A．互斥事件 B．独立事件 D．不独立事件
7．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2 号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有
A．144种
B．180种
C．240种
D．300种
（ ） （ ）
8．在（
x1?3）8的展开式中常数项是 2x A．－28 B．－7 C．7 D．28
9．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是 P2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是
A．P1+P2
B． P1·P2
C．1－P1·P2
（ ）
D．1－(1－ P1) (1－ P2)
10．袋中有6个白球，4个红球，球的大小相同，则甲从袋中取1个是白球，放入袋中，乙 再取1个是红球的概率为
A．2
45B．4
15（ ）
C．
8 25D．6
25第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。将正确答案填在题中横线上
11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要排在第一、
三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二，四位置，那么不同的出场安排共有__________________种（用数字作答）．
12．已知斜三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1与侧面BB1C1C的距离
为d，则斜三棱柱ABC?A1B1C1的体积V=______________．
13．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F－V= ．
9??14．已知?a?x?的展开式中，x3的系数为，则常数a的值为__________________．
?x42???9三、解答题：本大题共6小题，满分76分．
15．（本题满分12分）第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中进行.赛前，巴西队、士 耳其队、中国队等8支球队抽签分组，求中国队与巴西队被分在同一组的概率．
16．（本题满分12分）如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点， （1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MN⊥AB； （3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为?， 试确定?的值，使得直线MN是异面直线AB 与PC的公垂线．
17．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 （相互独立）．
（1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
18．（本小题满分12分）某人有5把钥匙，1把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把， 于是，他逐把不重复地试开，问： （1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
19．（本题满分12分）已知(1?3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中
二项式系数的最大的项及系数最大项.
20．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?3，AA1?4，M为AA1 的
中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N.求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）PC和NC的长；
（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小 （用反三角函数表示）.
高二数学测试题参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 C 9 D 10 D 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．252 12．dS 13． 4 14．4
12三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解一：记事件A为“中国队与巴西队被分在同一小组”，则事件A的对立事件;A为“中
国队与巴西队被分在两个小组”. 8支球队分为两组共有C84种方法，即基本事件总数为C84，
13C6种可能， ?P(A)?C21C63其中中国队与巴西队被分在两个小组有C2C84?4
7
根据对立事件的概率加法公式 ?P(A)?1?P(A)?1?4?3
77解二：设巴西队已被分在某组，中国队此时面临7种可能位置，其中与巴西同组的位置有3种，故两队同组的概率为3.
7答：中国队与巴西队被分在同一组的概率为3.
716．(12分) 证明： （1）取PD中点E，连接NE、AE，则四边形MNEA是平行四边形，所以MN//AE，所以MN//平面PAD
（2）连接AC、BD交于O，连接OM、ON，因为ON//PA，所以ON⊥平面ABCD，因为OM⊥AB，由三垂线定理知，MN⊥AB；
（3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC内的射影，CD⊥AD ∴CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P-CD-B
的平面角θ.当θ=45°时，AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥面PCD ∵MN∥AE ∴MN⊥面PCD，∵PC?面PCD， ∴MN⊥PC，又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB与PC的公垂线. 17．(12分) 解：每个人上网的概率为0.5，作为对立事件，每个人不上网的概率也为0.5，
在6个人需上网的条件下，r个人同时上网这个事件（记为Ar）的概率为：
rr1Cr式中r=0,1,2,…,6 ?0.5r?(1?0.5)6?r=C6?0.56=64P(Ar)=C66第（1）问的解法一 应用上述记号，至少3人同时上网即为事件A3+A4+A5+A6，因为A3、A4、A5、A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得至少3人同时上网的概率为P=P(A3+A4+A5+A6)= P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)
1(C3?C4?C5?C6)=1(20+15+6+1)=21 =6466666432解法二 “至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”，即事件A0+A1+A2，因为A0，A1，A2是彼此互斥的事件，所以至少3人同时上网的概率为
1(C0?C1?C2)=1－1(1+6+15)=21 P=1－P（A0+A1+A2）=1－[P(A0)+P(A1)+P(A2)]=1－646666432第（2）问的解法：记“至少r个人同时上网”为事件Br，则Br的概率P(Br)随r的增加而减
1<0.3， 少，依题意是求满足P(Br)<0.3的整数r的值，因为P(B6)=P(A6)=641(C5?C6)=7<0.3 P(B5)=P(A5+A6)= P(A5)+P(A6)=6466641(C4?C5?C6)= 1 (15+6+1)=11>0.3 P(B4)=P(A4+A5+A6)= P(A4)+P(A5)+P(A6)=646666432因为至少4人同时上网的概率大于0.3，所以至少5人同时上网的概率小于0.3．
18．(12分) 解：5把钥匙，逐把试开有A55种等可能的结果．
A44（1）第三次打开房门的结果有A种，因此恰好第三次打开房门的概率P(A)=A5=1． 55443A443． （2）三次内打开房门的结果有3A种，因此所求概率P(A)=A5=55442（3）解法一 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A33·A2种，从而三次内
32打开的结果有A55—A3·A2种，所求概率P(A)=
-A55A3?A232A559． =10
131解法二 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C12A3A2A3种；
1232313三次内恰有2次打开的结果有A3A3种，因此，三次内找开的结果有C2A13A2A3+A3A3，所求概率113?23C12A3A2A3A3A3P(A)==9． A5510?2?219．（14分）解：末三项的二项式系数分别为：Cn，Cn，Cn，由题设得：Cnn?2+Cnn?1+Cn=121 nnnn
即C2n+C1n+C0n=121,∴n2+n－240=0 ∴n=15 (n=－16) (n=－16舍去) 当n=15时，二项式系数最大的为中间项第8、9项. 分别为C∵展开式通项Tr+1= C
rr－1
C3≥C3
rr?171537x7与C
81538x8
r15(3x)= C
r
r153r· xr 设Tr+1项系数最大，则有
15r15r?1r+1 r
3≥C153 C15解得11≤r≤12,∴展开式中系数最大的项为T12= C
11153x，T13= C
1111
1215312x12
20．(14分) 解：（1）正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角
线的长为92?42?97
（2）如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到A1B1MNC1
高二数学测试题及答案
