从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩
通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10数学思想第37练函数与方程思想文
[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法． 2．函数与方程思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(4)立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
体验高考
1．(2015·湖南)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。
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从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩
－b有两个零点，则a的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 函数g(x)有两个零点，
即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，
则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点． ①若a<0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增； 当x>a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，
f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．
②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，
其与直线y＝b至多有一个公共点．
③若a>1，则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，
f(x)的图象如图(3)实线部分所示，
其与直线y＝b可能有两个公共点． 综上，a<0或a>1.
2．(2015·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________(写出所有正确条件的编号)．
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2； ④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2. 答案 ①③④⑤
解析 令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，
当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。2 / 16
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩
＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，②错误．所有正确条件为①③④⑤.
3．(2016·课标全国甲)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于( ) A．0 B．m C．2m D．4m 答案 B
解析 方法一 特殊函数法，根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，由y＝，
??x1＝－1，解得两个点的坐标为?
??y1＝0
??x2＝1，
???y2＝2
此时m＝2，所以(xi＋yi)＝m，故选B.
方法二 由题设得(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0,1)对称，
则y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．
又y＝＝1＋，x≠0的图象也关于点(0,1)对称．
则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对，且关于点(0,1)对称．则(xi，yi)＝i＋i＝0＋×2＝m，故选B.
高考必会题型
题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题
例1 (2016·天津)已知函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。
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