第一章 计数原理
1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1种不同的方法,在第二类办法中有M2种不同的方法,……,在第N类办法中有MN种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成N个步骤,做第一 步有m1种不同的方法,做第二步有M2不同的方法,……,做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。
3、排列:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不......同元素中取出m个元素的一个排列 4、排列数:
Am?n(n?1)?(n?m?1)?n!(m?n,n,m?N)
(n?m)!5、组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
mAm)1?(n(??1)1)mmn!n!An1?)?nm?m?nnn(n(?6、组合数:CC??mm??CC??nnm!m!(nAmm!m!(?nm?)!m)!Am
mmnnn?mCmn?Cn;
1mCm?n?Cm?Cnn?1
n0n1n?12n?22rn?rrnn (a?b)?Ca?Cab?Cab?…?Cab?…?Cbnnnnn7、二项式定理:
rn?rr8、二项式通项公式 展开式的通项公式:T?Cab(r?0,1……n)r?1n9.二项式系数的性质:
012nr(a?b)n展开式的二项式系数是Cn,Cn,Cn,…,Cn.Cn可以看成以r为自变
量的函数f(r),定义域是{0,1,2,L,n},
mn?m(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵Cn). ?Cn(2)增减性与最大值:当n是偶数时,中间一项C取得最大值;当n是奇数时,中间两项Cn?12nn2n,Cn?12n取得最大值.
1rrx?L?Cnx?L?xn, (3)各二项式系数和:∵(1?x)n?1?Cn012rn?Cn?Cn?L?Cn?L?Cn令x?1,则2n?Cn
第二章 随机变量及其分布 知识点:
(3)随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试
验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
(4)离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,
我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列
4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, … ;② p1 + p2 +…+pn= 1.
5、二点分布:如果随机变量X的分布列为:
其中0
6、超几何分布:一般地, 设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,
kn?kCMCN?M则它取值为k时的概率为P(X?k)?(k?0,1,2,L,m), nCN其中m?min?M,n?,且n≤N,M≤N,n,M,N?N*
7、条件概率:对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫
做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率 8、公式:
P(B|A)?
P(AB),P(A)?0.P(A)
9、相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事
件叫做相互独立事件。P(A?B)?P(A)?P(B)
10、n次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布: 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数,A发生次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在
kkn?k?CnpqP(??k)n次独立重复试验中 (其中 k=0,1, ……,n,q=1-p )
于是可得随机变量ξ的概率分布如下:
这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p) ,其中n,p为参数 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+… 为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离散型随机变量。
13、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2 +......+(xn-Eξ)2·Pn 叫随机变量ξ的均方差,简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:
期望 方差 两点分布 Eξ=p Dξ=pq,q=1-p 二项分布,ξ ~ B(n,p) Eξ=np Dξ=qEξ=npq,(q=1-p) 15、正态分布:
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)?
1e2???(x??)22?2,x?(??,??)
(??0)是参数,分别表示总体的平均数与标准差. 的图像,其中解析式中的实数?、?则其分布叫正态分布记作:N(?,?),f( x )的图象称为正态曲线。 16、基本性质:
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交. ②曲线关于直线x=?对称,且在x=
?时位于最高点.
③当时x??,曲线上升;当时x??,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
④当?一定时,曲线的形状由?确定.?越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
?越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3?原则:
从上表看到,正态总体在 (??2?,??2?) 以外取值的概率 只有4.6%,在
(??3?,??3?)以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小
概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
(完整版)高中数学选修2-3知识点总结
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