学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题 1．下列函数没有零点的是( ) A．f(x)＝0 C．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝2 1
D．f(x)＝x－x
【解析】 函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点． 【答案】 B
x
?2－1，x≤1
2．已知函数f(x)＝?则函数f(x)的零点为( )
?1＋log2x，x>1，
1
A.2，0 1C.2
B．－2,0 D．0
【解析】 当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)1
＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝2，不成立，所以函数的零点为0，选D.
【答案】 D
3．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是( ) A．(－2,0) C．(1,2)
B．(0,1) D．(2,3)
【解析】 ∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，
f(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故选C. 【答案】 C
4．已知0＜a＜1，则函数y＝|logax|－a|x|零点的个数是( ) A．1个 C．3个
B．2个
D．1个或2个或3个
【解析】 ∵0＜a＜1，函数y＝|logax|－a|x|的零点的个数就等于方程a|x|＝|logax|的解的个数，
即函数y＝a|x|与y＝|logax|图象的交点的个数．如图所示，函数y＝a|x|与y＝|logax|的交点的个数为2，故选B.
【答案】 B
5．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) C．(0，＋∞)
B．(1,2) D．(0,1)
【解析】 若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，则y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个不同的交点．函数y＝|2x－1|的图象如图所示
由图可得，当a∈(0,1)时，函数y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，故实数a的取值范围是(0,1)，故选D.
【答案】 D 二、填空题
?x－1?ln x
6．函数f(x)＝的零点是________．
x－3
?x－1?ln x
【解析】 令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故
x－3函数f(x)的零点为1.
【答案】 1
7．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是
________．
【解析】 由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
【答案】 (0,4)
8．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________.
【解析】 画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
【答案】 a＜b＜c 三、解答题
2
?x－4x?x≥0?
9．设函数f(x)＝?
?2x?x<0?，
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数．(只写明结果，无需过程) 【解】 (1)函数y＝f(x)的图象如图所示：
(2)函数y＝|f(x)|的图象如图所示：
①0＜a＜4时，方程有四个解； ②a＝4时，方程有三个解； ③a＝0或a＞4时，方程有二个解； ④a＜0时，方程没有实数解． 10．已知函数f(x)＝x2－bx＋3. (1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围． 【解】 (1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，
即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1， 所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4. 故b的取值范围为(4，＋∞)．
[能力提升]
1．函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为( ) A．(0,1) C．(2,3)
B．(1,2) D．(3，＋∞)
【解析】 易知函数f(x)＝x＋lg x－3在定义域上是增函数，f(1)＝1＋0－3＜0，
f(2)＝2＋lg 2－3＜0，f(3)＝3＋lg 3－3＞0，
故函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为(2,3)，故选C. 【答案】 C
2．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )
A．1 C．3
B．2 D．0
【解析】 由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间[0，a]上只有一个零点，设为x0，则f(x0)＝0，又因为f(x)为偶函数，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函数在[－a,0]内唯一的零点，故方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.
【答案】 B
3．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断： ①在(－2，－1)内有实数根； ②在(－1,0)内有实数根； ③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根． 其中正确的有________．(填序号) 【解析】 设f(x)＝x3＋x2－2x－1， 则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0， f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0， f(2)＝7>0，
则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确． 【答案】 ①②③
4．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围. (1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
【解】 (1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调
?
性与零点存在性定理得?f?1?＝5－2a>0
?a>1，
?－2a?2－16≥0
5
解得2≤a<2，即a的取值范围是
5??
?2，2?. ??
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数5
的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>2，即a的取值范围是?5??2，＋∞?. ??
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二
?f?1?＝5－2a<0次函数的单调性与零点存在性定理得?f?6?＝40－12a<0
?f?8?＝68－16a>0，
?1017?即a的取值范围是?3，4?.
??
f?0?＝4>0
1017
解得3
第3章 3.1.1 方程的根与函数的零点
