2019-2020年三年级数学 奥数讲座 年龄问题
专题简析：
年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两个人年龄的倍数关系却在不断地变化。
年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。我们可以抓住差不变这个特点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。
例题1 三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？
思路导航：由题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁正好是女儿年龄的4倍，女儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋3=13岁。
练 习 一
1．四年前小林年龄是小丽的2倍，小林今年12岁，小丽今年多少岁？ 2．五年前爷爷年龄是孙子的7倍，孙子今年14岁，爷爷今年多少岁？ 3．儿子今年10岁，爸爸今年34岁。几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？ 例题2 明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。今年明明12岁，妈妈今年多少岁？
思路导航：妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。 练 习 二
1．玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的5倍。今年爸爸40岁，玲玲今年多少岁？ 2．爷爷63岁时，他的年龄是小青的9倍。今年小青12岁，爷爷今年多少岁？ 3．两年前妈妈年龄是儿子的5倍，儿子今年9岁，妈妈今年多少岁？ 例题3 女儿今年3岁，妈妈今年33岁。几年后，妈妈的年龄是女儿的7倍？
思路导航：女儿今年3岁，妈妈今年33岁，她们的年龄差是33－3=30岁。她们年龄差不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的3倍，把女儿的年龄看作1份，妈妈的年龄就有7份，相差7－1=6份，6份是30岁，所以几年后女儿的年龄是30÷6=5岁。也就是说，5－3=2年后，妈妈的年龄是女儿的7倍。
练 习 三
1．小明今年7岁，爷爷今年62岁。几年前，爷爷的年龄是小明的12倍？
2．儿子今年2岁，爸爸今年的年龄是儿子的16倍。几年后，爸爸的年龄是儿子的7倍？ 3．妈妈今年26岁，是小玲年龄的13倍。几年后，妈妈的年龄是小玲的7倍？ 例题4 4年前，妈妈的年龄是女儿的3倍，4年后，母女年龄和是56岁。妈妈今年多少岁？
思路导航：4年后，母子的年龄和是56岁，可求出今年母子年龄和是56－4×2=48岁。4年前母子年龄和是48－4×2=40岁。又根据4年前，妈妈年龄是女儿的3倍，把女儿年龄看作1份，妈妈的年龄就有这样的3份，共有3＋1=4份。所以4年前女儿的年龄是40÷4=10岁，妈妈今年的年龄是10×3＋4=34岁。
练 习 四
1．3年前，哥哥的年龄是弟弟的2倍。3年后，哥弟俩的年龄和是30岁。哥哥今年多少岁？ 2．5年前，小明的年龄是小红的3倍。5年后，小明和小红年龄和是44岁。今年小明多少岁？ 3．7年前，姐姐的年龄是妹妹的4倍。7年后，姐妹俩的年龄和是48岁。姐姐今年多少岁？ 例题5 明明今年12岁，强强今年7岁，当两人的年龄和是45岁时，两人各多少岁？
思路导航：明明和强强的年龄差为12－7=5岁，这是一个不变量。当两人的年龄和是45岁时，明明比强强还是大5岁，如果从两人的年龄和45岁里减去两人的年龄差5岁，得到的就是两个强强的年龄。所以，强强的年龄是（45－5）÷2=20岁，明明的年龄是20＋5=25岁。
练 习 五
1．小红今年4岁，小平今年10岁，当两人的年龄和是30岁时，两人各多少岁？ 2．聪聪今年2岁，妈妈今年28岁。当母子俩的年龄和是42岁时，两人各多少岁？ 3．兰兰今年12岁，婷婷今年14岁，当两人的年龄和是40岁时，两人各多少岁？ 附送：
2019-2020年三年级数学 奥数讲座 应用同余问题
专题简析：
同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：
两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：
性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）
性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 例题1：
求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。 练习1：
1．求4217×364除以6的余数。 2．求1339655×12除以13的余数。 3．求879×4376×5283除以11的余数。 例题2：
已知xx年的国庆节是星期一，求xx年的国庆节是星期几？
一星期有7天，要求xx年的国庆节是星期几，就要求从xx年到xx年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在计算中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。
xx年国庆节到xx年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）
答：xx年的国庆节是星期五。 练习2：
1．已知xx年元旦是星期二。求xx年元旦是星期几？
2．已知xx年的“七月一日”是星期一。求xx年的“十月一日”是星期几？
3．今天是星期四，再过365的15次方是星期几？ 例题3：
求xx的xx次方除以13的余数。
xx除以13余12，即xx≡12（mod 13）。根据同余性质（4），可知xx的xx次方≡12的xx次方（mod 13），但12的xx次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1（mod 13），而xx≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的xx次方≡1（mod 13），而12的xx次方≡12的xx次方×12。根据同余性质（2）可知12的xx次方×12≡1×12≡12（mod 13）
因为：xx的xx次方≡12的xx次方（mod 13）
12的平方≡1（mod 13），而xx≡2×1001+1
12的xx次方≡12的xx次方×12≡1×12≡12（mod 13）
所以xx的xx次方除以13的余数是12。 练习3：
1．求12的200次方除以13的余数。 2．求3的92次方除以21余几。
3．9个小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？ 例题4：
自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？
自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，换句话说就是16520≡14903≡14177（mod m）。根据同余性质（3），这三个数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？
因为16520—14903=1617=3×7的平方×11
16520—14177=2343=3×11×71 14903—14177=726=2×3×11的平方 M是这些差的公约数，m最大是3×11=33。 练习4：
1．若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数是多少？
2．一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？ 3．当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？
例题5：
某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？
我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模8同余的数，9≡1（mod 8），但9输以7余数不是5，所以某数不是9。17≡1（mod 8），17除以7的余数也不是5。25≡1（mod 8），25除以7的余数也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的余数正好是5，而且33除以6余数正好是3，所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列举法，也可以简化为下面的格式：
被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除余5的数有：33，89，……这些数中被6除余3的数最小是33。 练习5：
1．某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小是几？ 2．某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。
2019-2020年三年级数学 奥数讲座 年龄问题
