第九届全国高中青年数学 教师优秀课展示与培训活动
2．2椭圆
椭圆的简单几何性质（第1课时）
（人教A版高中课标教材数学选修2-1）
教学设计
授课教师：乔树华 天津市宁河区芦台第一中学
2024年10月
《椭圆的简单几何性质》（第一课时）教学设计
天津市宁河区芦台第一中学 乔树华
一、教学内容解析
1.内容
本节课学习椭圆的几何性质，主要包括范围、长轴、短轴、对称性、离心率，以及性质的应用.
2.内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中2.2《椭圆》的第二课时，主要内容是研究椭圆的几何性质. 椭圆的对称性、长轴、短轴描述了椭圆的形状特征，椭圆的范围描述了椭圆的大小，椭圆的离心率是用数值刻画椭圆扁平程度的量.
从单元内容看，本单元主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程和性质，以及坐标法的应用，在学习的过程中要深入对数形结合思想的理解.本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导，因此本节课对体会单元核心思想方法具有举足轻重的地位和作用.
本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法研究曲线性质的数学方法.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，理解“以数解形”的数形结合思想.
二、教学目标设置
1.教学目标
（1）在动手画椭圆的过程中，发现并提出椭圆对称性、大小、圆扁程度等几何性质的问题，发展学生发现问题提出问题的能力,培养学生数学抽象的能力.
（2）通过对椭圆图形特征的研究，分析椭圆的范围、长轴、短轴、对称性的性质，发展学生分析几何图形和直观想象的能力.
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（3）结合方程分析椭圆性质，以数解形，提升学生对数形结合思想的理解. （4）通过离心率的探究，使学生经历观察、分析、归纳、概括的思维过程和动手操作的实践过程，发展学生数学逻辑推理的能力.
2.目标解析
（1）设计画椭圆图形，可以提高学生研究曲线时动手作图的基本技能，并让学生从作图的过程中初步了解椭圆的各项几何性质，发展学生直观想象和数学抽象的数学核心素养，培养学生分析问题和解决问题的操作性思维能力.
（2）研究曲线性质时，首先从图形角度研究，可以提高学生发现问题的能力,并让学生体会几何直观在研究曲线性质中的作用.
（3）通过方程对椭圆的几何性质的探究，学生进一步感受用代数方法解决几何问题的数形结合的思想，在由数释形的过程中，培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维.
（4）在椭圆离心率的探究过程中，通过实验发现规律，结合老师的引导点拨，让学生去实现对离心率的发现和理解，培养学生严谨的治学态度和不断发现问题的能力，以及运用所学知识解决新问题的能力.
三、学生学情分析
学生已经熟悉和掌握椭圆的定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力，但这是学生第一次通过方程研究曲线的几何性质，研究思路并不是很清晰.对于范围、对称性、顶点三个性质，通过老师的点拨引导，学生比较容易掌握.离心率概念比较抽象，学生缺乏研究此类问题的经验.
本节课的教学难点是：学生对椭圆的核心性质——离心率的认识与理解.
本单元内容的教学，要使学生充分经历“操作、观察、分析、抽象、概括”的学习过程.即从生活中抽象图形的模型，动手操作画图象，观察曲线的特点，探究曲线的方程，根据方程研究曲线.教学中，充分运用类比学习、螺旋提升的方法，不断形成完整的解析几何研究方法和学习策略.在运用方程讨论曲线性质时，主要以独立探究为主，离心率的发现过程要为学生创设适当的情境，使学生在最近发展区中发现问题、解决问题.
对于坐标法的理解，教师要为学生创造循序渐进地理解数形结合思想的条件，以代数与几何为什么结合、怎么结合、结合时注意什么等问题为抓手，帮助学生深刻理解此数学思想方法.
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四、教学策略分析
根据本节课教学内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，激发学生的学习兴趣，在课堂教学中让学生通过动手操作画椭圆，亲历知识的生成过程，力求借助信息技术手段，以“几何画板”软件为平台，通过对椭圆的核心性质离心率e的变化的演示，观察椭圆圆扁程度的变化，让学生体会运用“数形结合”的思想方法建立起高中数学的两条主线——代数主线和几何主线间的密切联系，同时利用展台将学生的研究成果进行实时呈现，能够使本节课重点研究的椭圆的简单几何性质的四方面——椭圆的范围、对称性、顶点及离心率问题及时得到很好的解决.具体来说包括：
1.任务驱动教学法：利用问题串作引导，引发学生积极思考并积极探究；
2.演示教学法：学生实物投影展示和教师几何画板动态演示相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；
3.启发式教学法：在研究范围和离心率时，教师做积极启发并与学生自主探究与合作讨论相结合突破难点；
4.学法：以小组合作为基本活动模型，采用自主学习法，结合合作探究法，讨论法，归纳总结法与交流展示法.
五、教学过程设计
（一） 创设情境、建构概念
1.情境创设：让学生观察建筑中国国家大剧院，它与湖中倒影的正视图呈椭圆形，进而引出课题.
2.知识回顾：椭圆的标准方程：
x2y2当焦点在x轴时，2?2?1(a?b?0)
aby2x2当焦点在y轴时，2?2?1(a?b?0)
ab【设计意图】回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫. 3.活动创设
x2y2?1和课前布置预习作业：你能否利用所学知识，在同一坐标系中画出方程?2516 3
x2y2??1所表示的曲线.课上分组展示学生的成果,并让学生观察他们有什么几何特征. 259预设可能出现的情况：
预设1：先判断其为椭圆，再利用定义画图； 评价预设：学生对刚刚学过椭圆的定义理解较深. yo Ox 预设2：先判断其为椭圆，寻找到与坐标轴的交点，画椭圆； 评价预设：寻找画图的关键点，提高画图容易度.
预设3：先判断其对称性，只需精确画出其第一象限的图象； 评价预设：发现椭圆的对称性，可以给画图带来方便. 预设4：从函数角度出发，利用描点法作图.
评价预设：将其转化为函数，利用函数图象的画法作图.
【设计意图】数学是现实世界的反映.从学生感兴趣的问题出发，创设思维情境，让学生在动手操作的过程中重温方程和曲线的关系，直观感受椭圆的几何特征，自然引出本节课的课题.
（二）独思共议，引导探究
通过画具体的椭圆，由特殊到一般，提出一般的椭圆会有哪些性质.
x2y2以椭圆2?2?1(a?b?0)为例研究椭圆的几何性质.
ab (预设：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观)
问题3： 你能否用方程说明该范围?
追问：范围可以由不等关系求出，如何建立x,y的不等关系?
(先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果) 从方程上看：
4 3 21 o问题1：椭圆大小如何刻画? x 5 4 ------12 3 -O-问题2：该椭圆上点的横坐标的取值范围是什么?纵坐标呢? -探究一.椭圆的范围
yyxo
y2x2x2
预设1：因为2?1?2?0所以2?1,故可得?a?x?a，同理可得?b?y?b.
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1芦台一中 乔树华《椭圆的简单几何性质》(第一课时)教学设计
