欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10
极值点偏移问题的两种罕见
解法之比较
时间2021.03.10 创作：欧阳治 浅谈部分导数压轴题的解法
在高考导数压轴题中，不竭呈现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数y?f(x)是连续函数，在区间(x1,x2)内有且只有
f(x2)，若极值点左右的“增
一个极值点x0，且f(x1)?减速度”相同，经常有极值点x0?x1?x22，我们称这种
状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不合，函数的图象不具有对称性，经常有极值点
x0?x1?x22的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”.
极值点偏移问题经常使用两种办法证明：一是函数的单调性，若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则对区间
(a,b)内的任意两个变量
x1、x2，
f(x1)?f(x2)?x1?x2；若函数f(x)在区间(a,b)内单调递
加，则对区间
(a,b)内的任意两个变量
x1、x2，
f(x1)?f(x2)?x1?x2.
二是利用“对数平均不等式”证
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明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？
两个正数
a和b的对数平均数界说：
?a?b,a?b,? L(a,b)??lna?lnb??a,a?b,对数平均数与算术平均数、几何平均数的年夜小关系是：式）
下面给出对数平均不等式的证明： i）那时a?b?0，显然等号成立 ii）那时a?b?0，无妨设a?b?0， ①先证lnaab??bbaab?L(a,b)?a?b，（此式记为对数平均不等2ab?a?ba?b，要证ab?，只须证：
lna?lnblna?lnb，
令 设
a1?x?1，只须证：2lnx?x?,x?1 bx1f(x)?2lnx?x?,x?1x，则
21(x?1)2f?(x)??1?2???0，所以f(x) 2xxx在
(1,??)内单调递加，所以
f(x)?f(1)?0，即
2lnx?x?1， xa?b
lna?lnb故ab?欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10
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a?ba?b ?lna?lnb2②再证：
aa?1ln 要证：a?b?a?b，只须证：b?b
alna?lnb22?1bax?1lnx 令?x?1，则只须证：，只须证?bx?122lnx1??，x?1 x?122lnx 设，，则g(x)?1??x?1x?1221?(x?1)2g?(x)????0
(x?1)22x2x(x?1)2 所以
g(x)在区间
(1,??)内单调递加，所以
g(x)?g(1)?0，即1?
2lnx， ?x?12a?ba?b故 ?lna?lnb2ab?L(a,b)?a?b2
综上述，那时a?0,b?0，例1（高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数
f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值规模；
（Ⅱ）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1?x2?2． 解：（Ⅰ）函数f(x)的界说域为R，
那时a?0，f(x)?(x?2)ex?0，得x?2，只有一个零点，不合题意；
那时a?0，f?(x)?(x?1)[ex?2a]
那时a?0，由f?(x)?0得，x?1，由f?(x)?0得，x?1，
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极值点偏移问题的两种常见解法之比较之欧阳治创编
