?221????te?t??e?tdt?002?? -------2
2131??e?2?e?t??e?20222 --------2
2．计算不定积分解：
?xsinxdxcos5x.
xsinx111?xdx?dx?xd()??4?cos5x?cos4x?4?cos4x4??cosx? --------3
?x12?(tanx?1)dtanx4?4cosx4x113??tanx?tanx?C44cosx124 -----------3 ?x?a(t?sint),??t?2处的切线的方程. 3．求摆线?y?a(1?cost),在
解：切点为
(a(?2?1),a) -------2
k?
dyasint?s)t??dxt??a(1?cot22?1 -------2
切线方程为
xy?a?x?a(?2?1) 即
y?x?(2??2)a. -------2
4. 设 5．设
F(x)??cos(x2?t)dt022?F(x)?2xcosx?(2x?1)cos(x?x). ，则
xn?n(n?1)(n?2)(n?3)?(2n)limxnn，求n??.
1nilnxn??ln1(?)ni?1n ---------2 解：
n1i1limlnxn?lim?ln(1?)??ln(1?x)dx0n??n??nni?1 --------------2 1dx?2ln2?101?x = ------------2 42ln2?1?limxnee 故 n??=
xln(1?x)10??x1四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线y?x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.
解：
（x0,y0)，则过原点的切线方程为设切点为
y?1x2x0?2，
（x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x0?4,y0?2.-----3 由于点
过原点和点(4,2)的切线方程为 面积
y?x22-----------------------------3
s??2022(y?2?22y)dy=3-------------------3
2 或
s??20122xdx??(24122x?x?2)dx?223
222．设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?2旋转一周所生成的旋转体的体积.
解： 法一：V?V1?V2
10???2?(1?1?y)dy???(2?y)2dy?2??10?2?21?1?y12?(y?1)2dy -------6
?0??11??1?2???(y?1)3??2?(?)0?43 --------3 ?43法二：V=
102??(2?x)(2x?x2?x)dx010
------------------ 5
?2??(2?x)2x?x2dx?2??(2x?x2)dx
14???(2?2x)2x?x2?22x?x2dx??03??3?2?41221???(2x?x)?2???1???04?3?321412????2????2??32323 ------------- 4
3. 设a?1,f(t)?a?at在(??,??)内的驻点为 t(a). 问a为何值时t(a)最小? 并求
最小值.
t解:
由f?(t)?atlna?a?0得t(a)?1?lnlna. lna --------------- 3
又由t?(a)?
lnlna?1?0得唯一驻点a?ee 2a(lna)------------3
当a?ee时,t?(a)?0;当a?ee时,t?(a)?0,于是a?ee为t(a)的极小值点.-----2
故
a?ee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)?1?lne1?1?.ee--------------1
五．证明题（7分）
1f(0)=f(1)?0,f()?1，2设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
试证明至少存在一点??(0,1), 使得f?(?)=1.
证明：设F(x)?f(x)?x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,
有F(0)?f(0)?0?0,F(1)?f(1)?1??1,--------------- 2
1111111f()=1F()=f()-=1-=，[，1]2222在2上F(x)用零点定理， 又由2，知211F(1)F()=-?022根据，--------------- 2 11(，1)F(?)=0，??(,1)?(0,1)2可知在2内至少存在一点?，使得, F(0)=F(?)=0由ROLLE中值定理得 至少存在一点??(0,?)?(0,1)使得
F?(?)=0即f?(?)?1=0，证毕. --------------3
大学高等数学期中考试试卷及答案 (1)
