专题一 集合与逻辑
【知识点一】 集合及其运算 1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． 2．集合间的基本关系
表示 关系 相等 集合间的 基本关系 真子集 空集 3.集合的基本运算 图形语言 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 集合的并集 集合的交集 集合的补集 子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 符号语言 A＝B A?B 4．集合的运算性质：①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∪(?UA)＝U；④A∩(?UA)＝?. 考点自测
1．元素与集合的辨别 (1)若{
x,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
2(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√) (3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(×) 2．对集合基本运算的辨别
(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)总成立．(√)
(5)(2013·浙江卷改编)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝{x|－4≤x≤1}．(×) (6)(2013·陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则?RM＝{x|x＞1，或x＜－1}．(√) 【知识点二】命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
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①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系． 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分 条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p?q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q?p p是q的充要条件 p?q p是q的既不充分也不必要条件 p q且qp 考点自测
1．对四种命题的认识
(1)命题“α＝π
4，则tan α＝1”的否命
是“若α＝π
4，则tan α≠1”．(×)
(2)若原命题“若p，则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.(×) (3)命题“若x2－3x＋2＞0，则x＞2或x＜1”的逆否命题是“若1≤x≤2，则x2－3x＋2≤0”．(√) 2．对充分条件、必要条件的理解
(4)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则?p是?q的必要不充分条件．(√) (5)“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件是“x＝0”．(√)
(6)在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝1
2”的充分不必要条件．(×)
(7)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π
2”的充分必要条件．(×) 【知识点三】 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．简单的逻辑联结词 (1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p∧q，p∨q，?p的真假判断
p q p∧q p∨q ?p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示． 3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定
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(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
考点自测
1．逻辑联结词的理解与应用
(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(√) (2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(×) 2．对命题的否定形式的理解
(3) “有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(√) (4)命题p：?n0∈N,2n0＞1 000，则?p：?n∈ N,2n≤1 000.(×)
(5)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：?x∈A,2x∈B，则?p：?x?A,2x?B.(×)
(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则?p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0.(×)
专题二 函数、导数及其应用 【知识点一】函数的概念及其表示 1．函数的基本概念 (1)函数的定义
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． (5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
2．函数定义域的求法
类型 2nf?x?，n∈N* x满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)＞0 各个函数定义域的交集 使实际问题有意义 1与[f(x)]0 f?x?logaf(x) 四则运算组成的函数 实际问题 3．函数值域的求法 方法 配方法 示例 y＝x2＋x－2 示例答案 9y∈－4，＋∞ [) 3 / 61
性质法 单调性法 换元法 y＝ex y＝x＋x－2 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈(0，＋∞) y∈[2，＋∞) 3y∈4，3 y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) []分离常数法 y＝x x＋1考点自测
1．对函数概念的理解． (1)如图：
以x为自变量的函数的图象为②④.(√) (2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．(×) 2．函数的定义域、值域的求法
(3)数y＝xln(1－x)的定义域为(0,1)．(×) (4)函数f(x)＝
1
的值域为(0,1]．(√) 1＋x2
3．分段函数求值
?x＋1，x≤1，
(5)设函数f(x)＝?2
?x，x＞1，
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
2
13
则f(f(3))＝9.(√)
【知识点二】 函数的单调性与最值
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 定义 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 (2)单调区间的定义 4 / 61
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (3)对于任意x∈I，都条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 考点自测
1．函数单调性定义的理解
(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√) (2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√) 1
(3)(教材改编)函数f(x)＝x在其定义域上是减函数．(×)
(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√) 2．函数的单调区间与最值
(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) 1
(6)函数y＝x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×) (7)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×) (8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×) 【知识点三】 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特点 关于y轴对称 奇函数 2.奇(偶)函数的性质 关于原点对称 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
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高中数学知识点汇总 (教师版)
