圆锥曲线联立及韦达定理基础计算
1、圆锥曲线与直线的关系
椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定：x2y2
椭圆：2?2?1(a?b?0)
abx2y2
双曲线：2?2?1(a、b?0)
ab直线：y?kx?m
(PS：这里并没有讨论椭圆的焦点在y轴、双曲线的焦点在y轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)（1）椭圆与双曲线联立：1k222kmm2
(2?2)x?2x?2?1?0abbb
(PS：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)类一元二次方程：Ax?Bx?C?0
2
1k2
A?(2?2)，所以A?0，即方程为一元二次方程。ab
判别式：??B?4AC
2
2km21k2m2
??(2)?4(2?2)(2?1)
babb1k2m2
化解得：??4(2?2?22)abab1)2)3)当??0，方程无实根，直线与椭圆没有交点；当??0，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；（相切是因为重根，而不是只有一个根）当??0，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.1
（2）双曲线与直线联立：1k222kmm2
(2?2)x?2x?2?1?0abbb2km1k2
类一元二次方程中，A?(2?2)，B?(?2)bab1k2m2
??4(2?2?22)abab
1)2)当A?0,B?0时，方程为?1?0，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）当A?0,B?0时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线的平行线）3)4)5)当A?0,??0时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；当A?0,??0时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；当A?0,??0时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.PS：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！2
2、联立方程与韦达定理
（1）韦达定理：Ax2?Bx?C?0运用韦达定理的前提：A?0,??0x1?x2??
BC?2，x1x2?，x1?x2?(x1?x2)?4x1x2?AAA（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：1k222kmm2
(2?2)x?2x?2?1?0abbb2km
2b；x1?x2?
1k2?a2b2m2
?12；x1x2?b21k?a2b2?
1k2m222?2?22ababx1?x2?
1k2?a2b2由y?kx?m可得到关于y的韦达定理：y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?k(x1?x2)?2m2k2m1k2?2?2m(2?2)bab?
1k2?a2b22m2a；y1?y2?
1k2?a2b2y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2y1y2?km(x1?x2)?m2
3
圆锥曲线联立及韦达定理
