，y2=xe+e -x
x x2x-x
，y3=xe+e-e是某二阶常
系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解 设y1=xe+e次微分方程 y''+by'+cy=f(x) ，y2=xe+e
x x2x-x
，y3=xe+e-e是二阶常系数线性非齐 的三个解，则y2-y1=e
-x -e 2x -x
和y3-y1=e都是二阶常系数线性齐次微分方程
y''+by'+cy=0
的解，因此y''+by'+cy=0的特征多项式是(λ-2)(λ+1)=0，而y''+by'+cy=0的特征多项式是
λ+bλ+c=0
''-y1'-2y1=f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y''-y'-2y=0，由y1 '=e+xe+2ey1 x x 2x x
x 2x 2
''=2e+xe+4e，y1 x x
-(xe+e+2e
x x
2x
''-y1'-2y1=xe+2e+4e知，f(x)=y1 =(1-2x)e x 2x
)-2(xe+e x2x
)
二阶常系数线性非齐次微分方程为
xx
y''-y'-2y=e-2xe
六、（10分）设抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点.当0≤x≤1时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为的旋转体的体积最小. 解 因抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点，故c=1，于是 1 ab?a3b2?
=?(ax+bx)dt=?x+x?=+ 03232?3?0 1
2 1 13
.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成 即
b= 23(1-a)
而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 V(a)=π
?(ax 1 2
+bx)dt=π=πa=151313 2 2 ?(ax
1 2 + 23
(1-a)x)dt 1 3 2 ?
1 xdt+π 13 4 43
a(1-a)?xdt+π 49 2 (1-a) 2 ? 1 xdt 2 πa+π 2
a(1-a)+π 427 (1-a) 即 V(a)= 15 πa+π 2
a(1-a)+π 427827
(1-a) 2 令
V'(a)= 25
πa+π(1-2a)-π(1-a)=0， 得
54a+45-90a-40+40a=0 即 4a+5=0 因此
a=- 54 ,b= 32 ,c=1.
'(x)=un(x)+xn-1ex(n=1,2, ), 且un(1)=七、（15分）已知un(x)满足un ∞ en , 求函
数项级数∑un(x)之和. n=1 解
'(x)=un(x)+xunn-1e， x 即
y'-y=xn-1xe
由一阶线性非齐次微分方程公式知 y=e(C+x?x xnn-1dx) 即 y=e(C+x n) 因此
un(x)=e(C+xx 1nn
n) )知，C=0， 由e
n=un(1)=e(C+ 于是
un(x)=xennx
下面求级数的和： 令
∞∞
nnxS(x)=∑u n=1
∞(x)=∑n=1xen 则
S'(x)=∑(x
n=1n-1e+xxennx∞)=S(x)+∑x n=1n-1e=S(x)+xex1-x 即
S'(x)-S(x)=ex 1-x
1 由一阶线性非齐次微分方程公式知 S(x)=e(C+x?1-xx) ∞
n=1令x=0，得0=S(0)=C，因此级数∑un(x)的和 S(x)=-eln(1-x)
∞
-x八、（10分）求x→1时, 与∑xn等价的无穷大量.
n=02
tt解 令f(t)=x，则因当0
2009-2011年全国大学生高等数学竞赛真题及答案（非数学类）
