4.弹性力学轴对称问题的有限元法
本章包括以下内容：
4.1用虚功方程建立有限元方程 4.2三结点单元位移函数 4.3三结点单元刚度矩阵 4.4载荷移置
4.5轴对称分析举例 4.1用虚功方程建立有限元方程
物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴， 对称问题时通常采用圆柱坐标系（ r, 0, z）,以z轴为对称轴。
因此在物体中通过
该轴的任何平面都是对称面， 所有应力、应变和位移也对称于该轴， 这类问题称为轴对称问 题。研究轴
图4.1受均布内压作用的长圆筒
如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过 对称
Z轴的一个纵截面就是对称面。由于
性，轴对问题共有 4个应力分量：
r
{ }
z
(4-1)
zr
其中r表示沿半径方向的正应力，称为径向应力;
z表示沿
表示沿0方向的正应力，称为
zr表示在圆柱面上沿
环向应力或切向应力；
z方向的正应力，称为轴向应力;
z方向作用的剪应力。
同样，轴对称问题共有 4个应变分量:
r
{}
4-2)
z zr
其中r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变； 环向正应变或切向正应变； 方向的剪应变。
z表示沿
表示沿B方向的正应变，称为
zr表示沿
z方向的正应变，称为轴向正应变； r和z
在轴对称问题中， 弹性体内任意一点上， 不存在切向位移， 只存在径向位移 u 和轴向位 移 w ，两个位移分量表示为，
{f}
4-3)
在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合 体，由虚功方程
得到单元刚度矩阵， 集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直 接得到轴对称问题的有限元列式。
由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，
{ *}T{ } dxdydz { f * }T { F} dxdydz
其中 {F} 为体力， {p} 为面力。
* T * T
{ f*}T{p}ds
s
* T
（4-4）
将弹性体离散后， 作用在弹性体上的外载荷移置到节点上， 在每个节点上外力只有径向
分量
U1,U2,...,Un ，轴向分量 W1,W2,...,Wn，
U
1
W1 U2 W2
{F}
4-5)
每个节点的虚位移也只有径向分量
u；,u2，...,u；，轴向位移分量 W； ,w2，...,W；。
u*
*
*
u
1
2 4-6)
*
u
w*n
在单元中由虚位移引起的虚应变为，
n *
{ } [B]{ }
*e
* Q
*e
* Q
（4-7）
单元中的实际应力为，
{ }e [D][ B]{ }e
离散后的单元组合体的虚功方程为，
n
（4-8）
{ *}T{F}
i1 n i1
eT
e
({ *}e)T[B]T[D][ B]{ } e dxdydz
(4-9)
{ *}T{F} ({ *}e)T [B]T[D][ B]dxdydz{ }e
e
(4-10)
[K ]e
e
[B]T[D ][ B] dxdydz 就是单元刚度矩阵。
对于轴对称问题，
[K]e
[B]T [D][ B]rdrdzd [B]T[D][ B]rdrdz (4-11)
将（ 4-11）代入（ 4-10）可得
{ *}T{F} { *}T ([G]T [K]e[G]){ }
e
(4-12)
[K ] （[G]T[K]e（[G]） 为整体刚度矩阵，得到方程组，
e
[K ]{ } {F}
4-13)
弹性力学轴对称问题的有限元法
