压轴题放缩法技巧全总结

（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：

fx≤4； （Ⅲ）当 时，试证明：

解析: （Ⅰ）解：令 ，由①对于任意 [0,1]，总有 ， ∴ 又由②得 即 ∴

（Ⅱ）解：任取 且设 则 因为 ，所以 ，即 ∴ ∴当 [0,1]时，

（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明： （1）当n=1时， ，不等式成立； （2）假设当n=时， 由 得

即当n=+1时，不等式成立

由（1）、（2）可知，不等式 对一切正整数都成立 于是，当 时， ，

而 [0,1]， 单调递增 ∴ 所以， 例0 已知： 求证： 解析:构造对偶式：令 则 ＝ 又 （

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小

保号性是指，定义在 上的可积函数 ，则 例1求证： 解析: ，∵ ， 时， ， ， ∴ ，

利用定积分估计和式的上下界

定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它估计小矩形的面积和 例2 求证： ，

解析: 考虑函数 在区间 上的定积分 如图，显然 -① 对 求和，

例3 已知 求证：

解析:考虑函数 在区间 上的定积分 ∵ -② ∴

例4 （2003年全国高考江苏卷）设 ，如图，已知直线 及曲线 ： ， 上的点 的横坐标为 （ ）从 上的点 作直线平行于 轴，交直线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 的横坐标构成数列

（Ⅰ）试求 与 的关系，并求 的通项公式； （Ⅱ）当 时，证明 ； （Ⅲ）当 时，证明 解析: （过程略）

证明（II）：由 知 ，∵ ，∴ ∵当 时， ， ∴

证明（Ⅲ）：由 知 ∴ 恰表示阴影部分面积， 显然 ④ ∴

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：① ； ② ； ③ ； ④

十二、部分放缩(尾式放缩) 例求证: 解析:

例6 设 求证： 解析:

又 （只将其中一个 变成 ，进行部分放缩）， ，

于是

例7设数列 满足 ，当 时 证明对所有 有 ；

解析: 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当 时 ，成立。

利用上述部分放缩的结论 放缩通项，可得

注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： ；证明 就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例8求证: 解析:(i)当 时,

(ii)当 时,构造单位圆,如图所示:

因为三角形AB的面积小于扇形AB的面积 所以可以得到 当 时 所以当 时 有 (iii)当 时, ,由(ii)可知: 所以综上有

十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强

对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强如要

证明 ,只要证明 ,其中 通过寻找分析,归纳完成 例9求证:对一切 ,都有 解析: 从而

当然本题还可以使用其他方法,如: 所以

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强

有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本面目,从而顺利解决原不等式其基本原理为:

欲证明 ,只要证明: 例60已知数列 满足: ,求证: 解析: ,从而 ,所以有 ,所以

又 ,所以 ,所以有 所以 所以综上有

引申:已知数列 满足: ,求证: 解析:由上可知 ,又 ,所以 从而