概率论第三版第2章答案详解

由天下分享时间：2025/2/6 5:04:14 加入收藏我要投稿点赞

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作业题解：

2.1掷一颗匀称的骰子两次.以X表示前后两次出现的点数之和.求X的概率分布，井验证其满足(式. 解：

1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 11 12 6 8 10 7 9 6 8 10 11 由表格知才的可能取值为2, 3.4f 5, 6. 7. 8. 9J0J1J2o

并且.P(X=2) = P(X= 12)=二

P(X=4) = P(X=10) = —； P(X=5) = P(X=9) = —；

P(X=3) = P(X=11) = —；

4 3o

即

P(X=6) = P(X=8) = —| P(X = 7) = — o

36 36

6_I 7 _ ￡ I

P(X = k) = -一-一 (A=2f 3.4t 5, 6. 7. & 9.10,11,12) 2. 2设离散型随机变■的概率分布为

P{X=^} =宀，“ 12???试确定常数“ ?

解：根据工P(X

故 a=e-l

得工=1

2()

2.3甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的概率：

(1)

两人投中的次数相同；(2)甲比乙投中的次数多.

解：分别用人辭=1,2)表示甲乙第一、二次投中.则

P ⑷=P(A2) = 0.7, P(4)= P(A2) = 0.3, P(BJ = P(B2) = 04 P(Bl) = P(B2) = 06, 两人两次都未投中的概率为：P(AA2= 0.3X0.3X0.6x0.6 = 0.0324 , 两人各投中一次的概率为：

PC\\A2 瓦&) + PC瓦人瓦 BJ + P(石A】瓦B) + P(A^A2 BTBI) = 4XO.7XO.3X 0.4 x 0.6 = 0.2016 两人各投中两次的概率为：任4/比伙)= 0.0784。所以：

(1) 两人投中次数相同的概率为0.0324+ 0.2016+0.0784 = 0.3124 (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：

2.4设离散型随机变量X的概率分布为P{ X =灯=存 =1,2,34.5 ,求

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解：(1)P(l.X.3) = - + _ + _ = -

1 2 1

(2) P(0?5

2.5设离散型随机变量X的概率分布为P{X=R} = ￡,R = 1,2,3,…,，求解：(1) P{X = 2,4,6??}=去+尹+应 2.6设事件川在每次试验中发生的概率均为0.4 t当川发生3次或3次以上时.指示灯发出信号.求下列事件的概率：

(1) 进行4次独立试验.指示灯发出信号；(2)进行5次独立试验.指示灯发出信号. 解：(1) P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4)

(2) P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

=C/0.43 x 0.62 +

0.44 x 0.6 + 0.45 = 0.31744 .

=X(1+

1 Z1 1 1 、 1

2.7某城市在长度为十(单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数力服从参数为0.5t的泊松分布.且与时间间隔的起点无关.求下列事件的概率： (1) 某天中午12时至下午勺5时未发生火灾； (2) 某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.

解：(1) P(X=k) = --e^9由题意，2 = 0.5x3 = 1.5^=0r所求事件的概率为

k\\ 2 °

(2) P(X > 2) = 1 - — e-\—

! 件的概率为1-3尸.

2.8为保证设备的正常运行，必须配备一定数■的设备维修人员.现有同类设备180台，且各台设备工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是0. 01,假设一台设备的故障由一人进行修理，问至少应配备多少名修理人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0. 99? 解：设应配备册名设备维修人员。又设发生故障的设备数为才，则X ~ 3(180,0.01)。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0. 99,即P(X 0.99,也即

因为Q80较大，尸0.01较小，所以力近似^从參数为2 = 180x0.01 = 1.8的泊松分布。査泊松分布表，得，当”仁7时上式成立，得庐6。故应至少配备6名设备维修人员。

2.9某种元件的寿命才(单位：小时)的概率密度函数为：求5个元件在使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。解：一个元件使用1500小时失效的概率为

设5个元件使用1500小时失效的元件数为n则Y ~ B(5,|)。所求的概率为

= 1 -- t 由题意，2 = 0.5x4 = 1.5,

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(护(|弟

2.10设某地区毎天的用电单位：百万千瓦?时)是一连续型随机变量，概率密度函数

为：

假设该地区每天的供电■仅有80万千瓦?时，求该地区每天供电■不足的概率.若每天的供电■上升到90万千瓦?时.每天供电量不足的概率是多少？

解：求每天的供电量仅有80万千瓦?时，该地区每天供电量不足的概率，只爲要求出该地区用电量砲过80万千瓦?时(亦即/>0.8百万千瓦?时)的概率：

若每天的供电■上升到90万千瓦?时.每天供电■不足的概率为: 2.11设随机变■: K ~ U(-2,4).求方程疋+ 2心+ 2K + 3 = 0有实根的概率. 解：方程/+2心+ 2K + 3 = 0有实根，亦即△ = 4K2-8K-12 = 4(K — 3)(K + l)n0. 显然.当K>3

_1_(_2) + 4-3_ 1 —4一(一2) \ 2.12某型号的飞机雷达发射管的寿命才(单位：小时)服从参数为0.005的指数分布，求下列

察件的概率：

(1) 发射管寿命不超过100小时； (2) 发射管的寿命超过300小时；

(3) 一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间. 解：(1)发射管寿命不超过100小时的概率： P(X V 100) =

= 一严计；=l-^5 =0. 39

求概率为:

(2) 发射管的寿命超过300小时的概率：

(3) 一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间. (1 一严乍(严5 一严5)= o 15。

2.13设每人每次打电话的时间(单位：分钟)服从参数为0?5的指数分布.求282人次所打

的电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率.

解：设每人每次打电话的时间为尤rr(o. 5),则一个人打电话超过10分钟的概率为

又设282人中打电话超过10分钟的人数为匕则Y ~ 3(282,水)。因为庐282较大.q较小.所以/近似服从参数为2 = 282x0-5 a\的泊松分布。