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第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数
y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：
方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 3、函数零点的求法： 求函数y?f(x)的零点：
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?○数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数y?ax?bx?c(a?0)．
2f(x)的图象联系起来，并利用函
１）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有
2两个零点．
２）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，
2二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
2
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第一章 三角函数
1、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．
??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???
第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k??? 终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???
终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???
2、与角?终边相同的角的集合为????k?360??,k???
第一象限角的集合为?k?360???k?360?90,k?? 3、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
4、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??5、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1?6、若扇形的圆心角为?l． r?180，1???180???57.3． ?????为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，
yPTOMAx11S?lr??r2．
227、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是rr??x2?y2?0，则sin???yxy，cos??，tan???x?0?． rrx8、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
9、三角函数线：sin????，cos????，tan????． 10.三角函数的基本关系：?1?sin2??cos2??1?sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；
?2?sin??tan?cos?sin???sin??tan?cos?,cos????．.（3） 倒数关系：tan?cot??1
tan??? Word完美格式
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11、函数的诱导公式：
?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?． ?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?5?sin????????????????cos?，cos?????sin?．?6?sin?????cos?，cos??????sin?． ?2??2??2??2??口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 12、①的图象上所有点向左（右）平移
?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数
1倍（纵坐标不变），得到函数y?sin??x????y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象．
②数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1倍（纵坐标不变），得到函数 ?y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移
?个单位长度，得到函数?y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横
坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象．
13、函数y??sin??x??????0,??0?的性质： ①振幅：?；②周期：??2??；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?． ?2?函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则
??11??ymax?ymin?，???ymax?ymin?，?x2?x1?x1?x2?． 222
14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
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. . 函 性 数 y?sinx 质 y?cosx y?tanx y=cotx yy=cotx图象 -?-?2 o?2?3?22?定义R 域 R ??????xx?k??,k??xx?k??,k??????22???? 值域 当??1,1? ??1,1? 当x?2k??k???时， R R x?2k???2时；，当ymax?1；当?k???最值 x?2k??? ?k???时，ymin??1．既无最大值也无最小值 既无最大值也无最小值 ymax?1x?2k???2 ，?k???时ymin??1． 周期性 奇偶性 在单调性 在奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 2? 2? ? ? 在????2k??,2k???22??? ?2k???,2k???k???上是增函数；在????k??,k???? 22?? ?k???上是增 Word完美格式
. . ?k???上是增?2k?,2k???? 函数；在 函数． ?k???上是减函?3?? 数．?2k??,2k???22??? ?k???上是减函数． 对称中心对称中心对对称性 称中心对称中心?k?,0??k??? 对称轴???k??,0??k??? ?2??对称轴?k??,0??k??? ?2??无对称轴 ?k??,0??k??? ?2??无对称轴 x?k???2?k??? x?k??k???
第三章 三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?；⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；
1?tan?tan?tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．
1?tan?tan?⑹tan??????2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin2??2sin?cos?．?1?sin2??sin??cos??2sin?cos??(sin??cos?) ⑵cos2??cos2222??sin2??2cos2??1?1?2sin2?
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