1985年全国高中数学联赛试题
第一试
1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题：
甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a>b．那么( )
A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件
C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ⑵PQ为经过抛物线y=2px焦点的任一弦，MN为PQ在准线l上的射影，PQ绕l一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面积为S2，则下面结论中，正确的是( )
A．S1>S2 B．S1 ⑶ 已知方程arccos－arccos(－)=arcsinx，则( ) 55 2424 A．x= B．x=－ C．x=0 D．这样的x不存在． 2525 ⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程mx+ny=0与mx+ny=1(m≠0，n≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是( ) yyyy2 2 2 2 －1 －1 OxOxOxO1xy=-xA.B.C.D. － ⑸ 设Z、W、λ为复数，|λ|≠1，关于Z的方程Z－λZ=W有下面四个结论： λW+WⅠ．Z=2是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解； 1－|λ| Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( ) A．只有Ⅰ、Ⅱ正确 B．只有Ⅰ、Ⅲ正确 C．只有Ⅰ、Ⅳ正确 D．以上A、B、C都不正确 ⑹ 设0 x2 xn－1 －－ ，……，则数列{xn}( ) A．是递增的 B．是递减的 C．奇数项递增，偶数项递减 D．偶数项递增，奇数项递减 二．填空题(本题满分24分，每小题6分) ⑴ 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若角A、B、C的大小成等比数列，且b－a=ac， 2 2 则角B的弧度为等于 ． ⑵ 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非负整数解共有 组． ⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ． ⑷ 对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数都有x*d=x，则d= ． 第二试 (本试共有4题，每题满分15分) 1．在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数．OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B?，A在y轴上的射影为A?，△OBB? 32 的面积比△OAA?的面积大33.5，由x1，y1，x2，y2组成的四位数x1x2y2y1=x1?10+x2?10+y2?10+y1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程． 2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2．求平面B1EF与底面 A1B1C1D1所成的二面角． DAD1B1EBCFA1C1 3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论． 4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54?． 1985年全国高中数学联赛试题 第一试 1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题： 甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a>b．那么( ) A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：由于a>b且a>b成立时，必有a>0，b<0．故由乙可得甲，故选B ⑵PQ为经过抛物线y=2px焦点的任一弦，MN为PQ在准线l上的射影，PQ绕l一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面积为S2，则下面结论中，正确的是( ) A．S1>S2 B．S1 44 ⑶ 已知方程arccos－arccos(－)=arcsinx，则( ) 55 2424 A．x= B．x=－ C．x=0 D．这样的x不存在． 25254443 解：即arcsinx=2 arccos－π．设arccos=θ，则cosθ=，sinθ=． 555524π∴ sin2θ=2sinθcosθ=．即2θ为锐角．∴2θ－π<－．故选D． 252 ⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程与 (m≠0，n≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是( ) yyyy2 2 2 2 2－1 －1 －1 －1 yMPy2=2pxONlQxOxOxOxO1xy=-xA.2 B.C.2 2 D. 解：由y=－x，若m、n均为正数，则此抛物线开口向左，且mx+ny=1表示椭圆，m 若m、n符号相反，则抛物线开口向右．且mx+ny=0图形是双曲线，m<0，n>0，m=－n．故选A． 2 mnmn － ⑸ 设Z、W、λ为复数，|λ|≠1，关于Z的方程Z－λZ=W有下面四个结论： λW+WⅠ．Z=2是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解； 1－|λ| Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( ) A．只有Ⅰ、Ⅱ正确 B．只有Ⅰ、Ⅲ正确 C．只有Ⅰ、Ⅳ正确 D．以上A、B、C都不正确 －－2 解：原式两端取共轭：Z－λZ=W，乘以λ再取共轭：λZ－|?|Z=λW，相加，由|?|≠1，得方程有唯 －－ λW+W一解Z=2．选A． 1－|λ| ⑹ 设0 x2 xn－1 －－ ，……，则数列{xn}( ) A．是递增的 B．是递减的 C．奇数项递增，偶数项递减 D．偶数项递增，奇数项递减 解：作y=a的图象，在图象上取点x1，x2，x3，x4，由0 二．填空题(本题满分24分，每小题6分) ⑴ 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若角A、 xy1x2x4x3x1(1,a)Oax1x3x21xB、C的大小成等比数列，且b2－a2=ac，则角B的弧度为等 于 ． 解：由余弦定理，b－a=c－2accosB．故ac=c－2accosB．即a=c－2acosB．?sinA=sin(A+B)－2sinAcosB.=sin(B－A)． ∴ 由b>a，得B>A．?A=B－A，?B=2A，C=4A． 或A+B－A=π(不可能) 2 ∴ B=π． 7 ⑵ 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非负整数解共有 组． 解：x1=1时，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1，共有9解； 2 2 2 2 x1=0时，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3，共有9+A9+C9=9+72+84=165解． ∴ 共有174解． ⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ． 23
全国高中数学联赛试题及解答
