19.2 平行四边形——三角形的中位线的综合应用
例1如图1，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.
（A）线段EF的长逐渐增大 （B）线段EF的长逐渐减小 （C）线段EF的长不变 （D）线段EF的长与点P的位置有关
分析：由E，F分别为AP，RP的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR，由于已知条件可知EF为ARP的中位线，根据中位线定理可知EF=
1AR， 2由于点P从点C到点D移动的移动过程中，AR始终不变，∴EF的长度也不变. 解：连接AR，∵E，F分别是PA，PR的中点，∴EF=∵AR不变，∴线段EF的长不变.故选（C）.
点评：本题通过巧妙地连接AR，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决.
二、借助中位线定理求长度
例2某花木场有一块如四边形ABCD的空地(如图2)，两对角线相等，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC= cm
1AB， 2
分析：根据E、F分别为BA，BC的中点，可知EF为△ABC的中位线，根据中位线
定理可得EF=
1111AC，同理可得HG=AC，HE=BD，FG=BD，根据两对角线相等可2222得EF=FG=GH=HE，由此可求到EF的长，也就求到AC的长.
11AC，同理可得HG=AC， 2211∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH=BD，同理可得FG=BD，
22 解：∵E，F分别是BA，BC的中点，∴EF=∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE， ∵EF+FG+GH+HE=40cm，∴EF=10cm， ∴AC=2EF=20cm.
点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF的长，进而求到AC的长.
三、借助中位线定理说理
例3 如图3，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
说明EF∥CB理由
分析：根据E为AB的中点，要说明EF//BC，可说明EF为△ABC的中位线，为此，需要证明F为AD的中点.
解：∵CF平分∠ACB，
∴∠DCF=∠ACF. 又∵DC=AC，∴CF是△ACD的中线， ∴ 点F是AD的中点. ∵ 点E是AB的中点， ∴ EF//BD，即 EF∥BC.
点评：本题根据点E为AB的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.
构造中位线
“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.
一、连中点，构造三角形的中位线
例1 如图1，D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC上任意一点，△DPM是等边三角形.连接FM.那么EP与FM相等吗？为什么？
分析：由D、E、F是中点，想到连接中点，得到中位线DE、DF.这样就可以把EP、FM放到△DPE、△DMF中，进而推出它们全等使问题得以解决. 解：连接DF、DE.
1
因为D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，所以DF∥BC，DF=
21
BC；DE∥AC,DE= AC.所以四边形DECF是平行四边形.
2 所以∠C=∠EDF=60°.
因为△ABC、△DPM是等边三角形，
所以BC＝AC，DP＝DM，∠PDM＝60°.所以DF＝DE. 因为∠EDP＝60°－∠PDF，∠FDM＝60°－∠PDF， 所以∠EDP＝∠FDM.所以△DEP≌△DFM. 所以EP＝FM.
跟踪训练1 如图2，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，MN交BD于点E、交AC于点F.OE与EF相等吗？为什么？
二、找中点，构造三角形的中位线
例2 如图3，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD边的中点，延长BA、MN交于点F，延长CD交MF于点E.请说明∠1与∠2相等.
分析：因为M、Ｎ分别是BC、AD的中点，若连接BD，取其中点G，再连接NG、11
MG,则NG∥AB，NG＝ AB，MG∥CD，MG＝ CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同
22一个等腰三角形ＧMＮ中，从而使问题得以解决.
1
解：连接BD，取BD的中点G，连接NG、MG，则NG∥AB，NG＝ AB，MG∥CD，
21
MG＝ CD.
2
所以∠1＝∠GNM，∠2＝∠GMN. 因为AB＝CD，所以NG＝MG. 所以∠GNM＝∠GMN.所以∠1=∠2.
跟踪训练2 如图4，△ABC的一个外角平分线AE与过点C的直线互相垂直，垂足为1
点E，D为BC的中点，试说明：DE∥AB，且DE= （AB+AC）
2
答案
1
1.解：取AD的中点Ｇ，连接GM、GN，得GM∥BD，GN∥AC，且GM＝ BD，GN
21
＝ AC，因为AC＝BD，故GM＝GN，所以∠GMN＝∠GNM，又∠OEF＝∠GMN，∠OFE2＝∠GNM，所以∠OEF＝∠OFE，所以OE＝OF．
2.解：延长BA、CE相交于点F，由AE⊥CF，AE平分∠CAF，得EF＝EC，AF＝AC，11
又D是BC的中点，所以DE是△BCF的中位线，故有DE∥AB，且DE= BF= （AB+AC）．
22
课堂学习检测
一、填空题：
1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线． (2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于_________________．
2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______． 二、解答题
4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
沪科版八年级下册19.2 平行四边形——三角形的中位线的综合应用
