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【巩固练习】 一、选择题
1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( )
A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1） 2. 如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=（ ） A．
A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦值是415 178 17B．
1 2 C．D．
3 23. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，?BCA?90?，点D1、F1分别是A1B1、AC11的中点，若
BC?CA?CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A．
30 1030 15B．
1 2 C．D．
15 1084. 若向量a?(1，?，2)与b?(2，?1，2)的夹角的余弦值为，则??( )
9A．2 B．?2 C．?2或
2 55 D．2或?2 5515. 在三棱锥P－ABC中，AB?BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥
2底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（ ）
A．
21 6210 60B．
83 321030
C．D．
6.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
17. 在三棱锥P－ABC中，AB?BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥
2底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值是（ ）
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精品文档 21 6二、填空题
83 3210 60210 30 A．B．C．D．3，0?，直线l的一个方向向量为b=?111，，8．若平面?的一个法向量为n??3，?，则l与?所成角的余弦值为 _．
9．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是______.
10. 已知三棱锥S?ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，
SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 .
11. 如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?AE,FA?FE,?AEF?45，则平面BDF和平面ABD的夹角余弦值是_______.
?
三、解答题
12. 如图，点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的对角线D1B上，∠PDA?60?.
（Ⅰ）求DP与C1C所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面A1ADD1所成角的大小.
13. 如图，四棱锥F?ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC?2，BD?2，AE，CF都与平面ABCD垂直，AE?1， CF?2，求平面ABF与平面ADF的夹角大小.
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14. 如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C?CD，如图（2）．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
15．(2016 浙江理)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3．
(Ⅰ)求证：EF⊥平面ACFD；
(Ⅱ)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
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【答案与解析】 1.【答案】B
【解析】排除法.
平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.
排除A，C，D，选项为B.
2.【答案】A
【解析】设正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则
31B(1,1,0),E1(1,,1),D(0,0,0),F1(0,,1)．
44uuur31所以，BE1?(1,,1)?(1,1,0)?(0,?,1)，
44uuuur11DF1?(0,,1)?(0,0,0)?(0,,1)，
44uuuruuuur1717BE1?，DF1?，
44uuuruuuur1115BE1?DF1?0?0?(??)?1?1?．
4416所以，
uuuruuuuruuuruuuurBE?DF1cos?BE1,DF1??uuur1uuuurBE1?DF115
1516??.171717?44因此，BE1与DF1所成的角的余弦值是
15． 173.【答案】A
【解析】如图所示，以C为原点建立的空间直角坐标系， 则A?1,0,0?,B?0,1,0?,C1?0,0,1?,A1?1,0,1?,B1?0,1,1?, ?11??1? 由中点公式可知，D1?，，，1?F1?，01，?，
222????uuuur?11?uuur?1? BD1??， ，，1?AF1?? ，01，?，
?22??2?1-?1uuuuruuur30AF1?4? cosBD1，.
1035g244.【答案】C 精品文档
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b=abcosa，b可得，55?2?108? 4?0，即???2??55? 2??0， 【解析】由ag 即?= 2或?=2. 555.【答案】D 【解析】
Q OP?平面ABC，OA?OC，AB?BC，? OA?OB，OA?OP，OB?OP. 以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O?xyz?如图?，
设AB?a，则?2???????2214?214?A?a,0,0,B0,a,0,C?a,0,0，P0，0，.，D?a,0,a????????2???2???2????4?24??????????uuur?214??OD???a,0,a??4?,4??r?1?可求得平面PBC的法向量n???1,1,???,7??uuurruuurrOD?n210? cos?OD,n??uuu.rr?30OD?n设OD与平面PBC所成的角为?，uuurr210则 sin??cos?OD,n??,30? OD与平面PBC所成角的余弦值为210.30
6.【答案】A
【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz。
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，0，0），P(0,?uuuruuurraauuu则CA?(2a,0,0),AP?(?a,?,),CB?(a,a,0)，
22r设平面PAC的一个法向量为n，
ruuurruuur则n?CA?0,n?AP?0，
aa,)， 22精品文档
空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题 详细答案doc资料
