2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
1、向量的数量积的定义
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定零向量与任一向量的数量积均为 2、投影的概念 叫做向量b在a方向上的投影， 叫做向量a在b方向上的投影． 3．数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于 4、向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角． (1)a⊥b? . (2)当a与b同向时，a·b＝ |，当a与b反向时，a·b＝ . (3)a·a＝ 或|a|＝a·a＝ (4)cos θ＝ . (5)|a·b|≤ . 5.数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[例1] 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)a·b; (2)(a＋b)·(a－2b)．
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( ) 133
A.2 B.2 C．1＋2 D．2 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．
uuuruuuruuur3．设正三角形ABC的边长为2，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a. 2π[例2] 已知|a|＝|b|＝4，向量a与b的夹角为3，求|a＋b|，|a－b|.
4．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于( ) A．3
B．22 C．10
D.10
5．已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.
[例3] 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ. 6．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝32，|2a－b|＝10，则a与b的夹角为________． 8．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角θ的余弦值．
课后练习
1.已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为( )
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A.2 B．3 C．4
D．5
12．(2011·全国高考)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－2，则|a＋2b|＝( ) A.2 C.5 B.3 D.7 3．设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列结论正确的是( ) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．a·b＝0?a＝0或b＝0 C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直 D．(3a＋4b)·(3a－4b)＝9|a|2－16|b|2 4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( ) A．1 3C.4 1B.2 3D.2 5．已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________． 6．(2011·重庆高考)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝________． 7．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
118．已知|a|＝1，a·b＝4，(a＋b)·(a－b)＝2. (1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
高一数学11月
