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课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
1111A．－ B. C. D．－
3322
2．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为( )
1
A．2 B．－1 C．－ D．1
2
3．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3) A．f(－1) x 4． 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( ) ?2x＋1??x－a? 123 A. B. C. D．1 234能力提升 ?x2－x＋1?x>0?，? 5．已知f(x)＝?2则f(x)为( ) ?－x－x－1?x<0?，? A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定奇偶性 1 6． 设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x， f?x? 则f(107.5)＝( ) 11 A．10 B. C．－10 D．－ 1010 1?7． 已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f??2?＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为( ) 2A.?0，?∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) 2??110，?∪(2，＋∞) D.?0，? C.??2??2?8．若x∈R，n∈N＋，规定：Hn例如：H3(－2)·(－－3＝(－3)·x＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)， 7 1)＝－6，则函数f(x)＝x·Hx－3( ) A．是奇函数不是偶函数 B．是偶函数不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 9． 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________. 10． 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则不等式f(x2 －3x＋2)>f(6)成立的x的取值范围是________． 11．已知定义在R上的函数f(x)满足： ①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称； 3??3? ②对?x∈R，f??4－x?＝f?4＋x?成立； 1 57 －，－?时，f(x)＝log2(－3x＋2)， ③当x∈?4??2则f(2012)＝________. －x2＋2x，x>0，?? 12．(13分)已知函数f(x)＝?0，x＝0， ??x2＋mx，x<0 是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 难点突破 11 k－，k＋?(k∈Z)，设函数f(x)表示实数x与x的13．(12分)对任意实数x，给定区间?2??2 给定区间内整数之差的绝对值． 11 －，?时，求出函数f(x)的解析式； (1)当x∈??22?11 k－，k＋?(k∈Z)时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式，并说明理由；(2)当x∈? 2??2 (3)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论． 2 课时作业(六)A 【基础热身】 1．B [解析] ∵函数f(x)＝ax2＋bx在[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1＋2a＝0， 11 即b＝0，a＝.∴a＋b＝. 33 2．D [解析] f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1. 3．D [解析] 函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3) x 4．A [解析] 法一：由已知得f(x)＝的定义域关于原点对称，由于该函数?2x＋1??x－a? ??11 x≠－且x≠a?，知a＝，故选A. 定义域为?x?22??? 法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， x 又f(x)＝2， 2x＋?1－2a?x－a－x－x1 则2＝2在函数的定义域内恒成立，可得a＝. 22x－?1－2a?x－a2x＋?1－2a?x－a 【能力提升】 5．A [解析] 若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＋1＝x2＋x＋1＝－f(x).若x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)－1＝－x2＋x－1＝－f(x).∴f(x)为奇函数． 1 6．B [解析] 由f(x＋6)＝－＝f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以f(107.5) f?x＋3? 1111111 6×18－?＝f?－?，又f(x)为偶函数，则f?－?＝f??＝－＝f?＝－＝. 2??2???2??2?5?－1010?f?－2?1 7．A [解析] 作出函数f(x)图象的示意图如图，则原不等式等价于log2x＞或log2x<－ 2 12，解得x>2或0 8．B [解析] f(x)＝x(x－3)(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x2(x2－1)(x2－4)(x2－9)，∴f(x)是偶函数． 9．－3 [解析] 法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x， ∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3. 法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－2x2－x(x>0)，∴f(1)＝－2×12－1＝－3. 10．(－1,4) [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因此不等式f(x2－3x＋2)>f(6)?f(|x2－3x＋2|)>f(6)，所以|x2－3x＋2|<6，所以－1 11．－3 [解析] 由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可得，函数f(x)的图象关于原点对称， 3??3?33－x＝f＋x得，f?＋x?＝－f?x－?， ∴f(x)是奇函数．由f??4??4??4??4?333 x＋?＝f??x＋4?＋?＝ ∴f??4??2??? 3 33 x＋?－?＝－f(x)， －f????4?4?333 x＋?＋?＝－f?x＋?＝f(x)，所以函数f(x)是以3为周期的函数，又2012∴f(x＋3)＝f???2???2?2?＝3×670＋2，∴f(2012)＝f(2)＝－f(－2)＝－log2(6＋2)＝－3. 12．[解答] (1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， ??a－2>－1， 结合f(x)的图象(图略)知? ??a－2≤1， 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]． 【难点突破】 11 －，?时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f(x)＝|x|，x∈13．[解答] (1)当x∈??22??－1，1?. ?22? 11?k－1，k＋1?k－，k＋?(k∈Z)时，(2)当x∈?k为给定区间内的整数，故f(x)＝|x－k|，x∈2?2??2?2 (k∈Z)． 11 (3)对任意x∈R，函数f(x)都存在，且存在k∈Z，满足k－≤x≤k＋，f(x)＝|x－k|，由 22 111111 －k－，－k＋?内的整数，因k－≤x≤k＋，得－k－≤－x≤－k＋，此时－k是区间?22??2222 此f(－x)＝|－x－(－k)|＝|－x＋k|＝|x－k|＝f(x)，即函数f(x)为偶函数． 4
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