高斯消元法解线性方程组
在工程技术与工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型得数学模型,这些模型中方程与未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同.那么这样得线性方程组就是否有解呢？如果有解，解就是否唯一？若解不唯一，解得结构如何呢？这就就是下面要讨论得问题. 一、线性方程组
设含有n个未知量、有m个方程式组成得方程组
（3、1） 其中系数，常数都就是已知数,就是未知量（也称为未知数）。当右端常数项， ， …， 不全为0时,称方程组（３、１)为非齐次线性方程组；当== … ＝= 0时,即 （3、2） 称为齐次线性方程组.
由n个数, , …, 组成得一个有序数组（， ， …， ),如果将它们依次代入方程组(3、１)中得， ， …, 后，(3、1）中得每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（， ， …， )为方程组（3、1)得一个解。显然由=0, =0, …, =0组成得有序数组（0， 0, …， 0）就是齐次线性方程组(３、２)得一个解，称之为齐次线性方程组(3、２）得零解，而当齐次线性方程组得未知量取值不全为零时,称之为非零解.
（利用矩阵来讨论线性方程组得解得情况或求线性方程组得解就是很方便得。因此,我们先给出线性方程组得矩阵表示形式。) 非齐次线性方程组(3、1)得矩阵表示形式为：
AX = Ｂ
其中
A ＝ ，X ＝ ，B =
称A为方程组(3、１）得系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵Ａ与常数矩阵B放在一起构成得矩阵
=
称为方程组（３、1)得增广矩阵。
齐次线性方程组（3、2)得矩阵表示形式为:ＡＸ = O 二、高斯消元法
(下面介绍利用矩阵求解方程组得方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组得解呢?我们先瞧一个定理。)
定理３、1 若用初等行变换将增广矩阵化为,则AＸ = Ｂ与CX = D就是同解方程组。
证 由定理3、1可知，存在初等矩阵, ， …, ,使 … ＝ 记… = P，则P可逆,即存在。
设为方程组A X ＝ Ｂ得解,即 A ＝ B 在上式两边左乘Ｐ,得 P A = PB 即 Ｃ＝ D 说明也就是方程组C X ＝ D得解。反之，设为方程组C X ＝ D得解,即
C= D 在上式两边左乘，得 C= D
即 A = B 说明也就是方程组AX ＝ Ｂ得解。 因此,方程组A X = B与C X = D得解相同，即它们就是同解方程组。（证毕）
(由定理3、1可知,求方程组(3、1)得解，可以利用初等行变换将其增广矩阵化简。又有第二章定理2、1０可知,通过初等行变换可以将化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组(3、1）得一般方法：）
用初等行变换将方程组(３、1)得增广矩阵化成阶梯形矩阵,再写出该阶梯形矩阵所对应得方程组，逐步回代，求出方程组得解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组(3、1)得解。这种方法被称为高斯消元法，
（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解得方法与步骤.） 例1 解线性方程组 （3、3)
解 先写出增广矩阵，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵,即
=
上述四个增广矩阵所表示得四个线性方程组就是同解方程组，最后一个增广矩阵表示得线性方程组为
将最后一个方程乘，再将项移至等号得右端,得
将其代入第二个方程,解得
再将代入第一个方程组,解得
因此，方程组（3、3)得解为
（3、4） 其中可以任意取值。
由于未知量得取值就是任意实数，故方程组（3、3)得解有无穷多个。由此可知,表示式（3、4)表示了方程组(3、3）得所有解.表示式（３、4）中等号右端得未知量称为自由未知量,用自由未知量表示其它未知量得表示式（3、4）称为方程组（3、3）得一般解，当表示式(３、４）中得未知量取定一个值(如=1),得到方程组（3、３)得一个解（如，，，），称之为方程组（3、３)得特解。
注意，自由未知量得选取不就是唯一得，如例１也可以将取作自由未知量. 如果将表示式（3、4)中得自由未知量取一任意常数ｋ，即令＝ k，那么方程组（３、3)得一般解为
，其中k为任意常数.
用矩阵形式表示为
＝ （３、5) 其中k为任意常数。称表示式（3、5)为方程组（3、3）得全部解。
(用消元法解线性方程组得过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩
阵后,要写出相应得方程组,然后再用回代得方法求出解。如果用矩阵将回代得过程表示出来,我们可以发现,这个过程实际上就就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊得矩阵，从这个特殊矩阵中,就可以直接解出或“读出\方程组得解.例如，)对例１中得阶梯形矩阵进一步化简,
上述矩阵对应得方程组为
将此方程组中含得项移到等号得右端,就得到原方程组（3、3）得一般解，
（3、４)
其中可以任意取值。
例2 解线性方程组
解 利用初等行变换,将方程组得增广矩阵化成阶梯阵，再求解.即
=
一般解为
例３ 解线性方程组
解 利用初等行变换,将方程组得增广矩阵化成阶梯阵,再求解。即
＝
阶梯形矩阵得第三行“０， 0, 0， －2”所表示得方程为:,由该方程可知,无论，,取何值，都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。 三、线性方程组得解得判定
前面介绍了用高斯消元法解线性方程组得方法,通过例题可知，线性方程组得解得情况有三种:无穷多解、唯一解与无解。从求解过程可以瞧出,方程组(3、1）就是否有解，关键在于增广矩阵［Ａ B]化成阶梯非零行得行数与系数矩阵Ａ化成阶梯形矩阵后非零行得行数就是否相等.因此，线性方程组就是否有解，就可以用其系数矩阵与增广矩阵得秩来描述了。
定理3、9 线性方程组（３、1)有解得充分必要就是 ＝。
证 设系数矩阵A得秩为ｒ,即＝ r。利用初等行变换将增广矩阵［A B]
化成阶梯阵: [Ａ B］ ＝ ［C D]
故ＡX = B与CX = D就是同解方程组,因此 AＸ ＝ B有解＝ ０ =＝ r 即== r。 (证毕） 推论1 线性方程组有唯一解得充分必要条件就是＝= . 推论2 线性方程组有无穷多解得充分必要条件就是＝ .
（将上述结论应用到齐次线性方程组(３、2）上,则总有＝.因此齐次线性方程组一定有解。并且有）
例4 判别下列方程组就是否有解？若有解，就是有唯一解还就是有无穷多解？
（1） （2)
高斯消元法(完整)
