专项限时集训(五) 复杂数列的通项公式与求和问题
(对应学生用书第121页)
(限时：60分钟)
1．(本小题满分14分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
【导学号：56394103】
[解] (1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.
0，1≤n＜10，??1，10≤n＜100，
(2)因为b＝?2，100≤n＜1 000，
??3，n＝1 000，
n6分
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
2
14分
2．(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋
bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
an＋1
(2)令cn＝
bn＋2
n＋1n，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式， 所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d.
??a1＝b1＋b2，由?
?a2＝b2＋b3，???b1＝4，可解得?
?d＝3.?
2
??11＝2b1＋d，即?
?17＝2b1＋3d，?
所以bn＝3n＋1.
n＋1nn＋1
6分
6n＋6
(2)由(1)知cn＝
3n＋3又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
＝3(n＋1)·2，
得Tn＝3×[2×2＋3×2＋…＋(n＋1)×2
3n＋1
]，
1 / 4
2Tn＝3×[2×2＋3×2＋…＋(n＋1)×2
2
3
4
34n＋2
]，
n＋1
两式作差，得－Tn＝3×[2×2＋2＋2＋…＋2
n41－2n＋2?－n＋1×2?＝3×?4＋? 1－2??
－(n＋1)×2
n＋2
]
＝－3n·2
n＋2
，
n＋2
所以Tn＝3n·2. 14分
3．(本小题满分14分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知数列{an}的前n项和为
An＋1An1*
An，对任意n∈N*满足－＝，且a1＝1，数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N)，
n＋1n2b3＝5，其前9项和为63.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝＋，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn≥2n＋a，求实数a的取值范围；
(3)将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，
bnananbna5，b5，b6，…，求这个新数列的前n项和Sn.
[解] (1)∵
?An?An＋1An11
－＝，∴数列??是首项为1，公差为的等差数列， n＋1n22?n?
An111n∴＝A1＋(n－1)×＝n＋，即An＝n222
∴an＋1＝An＋1－An＝
n＋1
22
(n∈N)， ＝n＋1(n∈N)，
*
*
n＋1
2
*
n＋2
－
nn＋1
又a1＝1，∴an＝n(n∈N)，
∵bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，∴数列{bn}是等差数列， 9设{bn}的前n项和为Bn，∵B9＝∴b7＝9，∴{bn}的公差为
b3＋b7
2
＝63且b3＝5，
b7－b39－5
7－3
＝＝1， 7－3
bn＝n＋2(n∈N*).4分
(2)由(1)知cn＝＋＝1??1
＝2＋2?－?，
?nn＋2?∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn
11??111
＝2n＋2?1－＋－＋…＋－
nn＋2??324?
2 / 4
bnann＋2n＋
anbnnn＋2
11??1－＝2n＋2?1＋－?＝
?2n＋1n＋2?2n＋3－2?
?1＋1?，
?
?n＋1n＋2?
?1＋1?，
?
?n＋1n＋2?
∴Tn－2n＝3－2?设Rn＝3－2?＝2?
?1＋1?，则R－R
?n＋1n?n＋1n＋2?
4?1－1?＝
＞0， ?n＋1n＋3?n＋1n＋3?
∴数列{Rn}为递增数列， 4
∴(Rn)min＝R1＝，
3
4
∵对任意正整数n，都有Tn－2n≥a恒成立，∴a≤.
3
(3)数列{an}的前n项和An＝
*
8分
nn＋1
2
，数列{bn}的前n项和Bn＝
＋
nn＋5
2
.
①当n＝2k(k∈N)时，Sn＝Ak＋Bk＝
*
kk＋1
2
kk＋5
22
＝k＋3k；
2k＋
2k＋52
＝4k＋2
2
②当n＝4k＋1(k∈N)时，Sn＝A2k＋1＋B2k＝
2k＋12k＋2
8k＋1，特别地，当n＝1时，S1＝1也符合上式； ③当n＝4k－1(k∈N)时，Sn＝A2k－1＋B2k＝
123
n＋n，n＝2k，42
2
*
2k－1
2
2k2k＋
2k＋52
＝4k＋4k. 2
??n＋6n－3
，n＝4k＋1，k∈N，综上，S＝?4
n＋6n＋5??4，n＝4k－1.
*
n2
n 14分
4．(本小题满分16分)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N，bn是an和an＋1的等比中项．
(1)设cn＝bn＋1－bn，n∈N，求证：数列{cn}是等差数列；
2n2
2
*
*
11k2*
(2)设a1＝d，Tn＝∑k (－1)bk，n∈N，求证：∑ ＜2. ＝1k＝1Tk2d[证明] (1)由题意得bn＝anan＋1，
2cn＝b2n＋1－bn＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.
2
3 / 4
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d， 所以{cn}是等差数列.6分
(2)Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n) ＝2d(a2＋a4＋…＋a2n) ＝2d·
2
2
2
2
2
2
2
2
na2＋a2n2
10分
n＝2dn(n＋1).
nn11
所以∑k ＝2∑k＝ 1 ＝1Tk2dk
11?1－1?＝1·?1－1?＜1.
＝2∑k ?k＋1?2d2?n＋1?2d2
＝1?kk＋12d???
16分
5．(本小题满分16分)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N.
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
nny254－3
(2)设双曲线x－2＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>n－1.
an33
2*
【导学号：56394104】
[解] (1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到
an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1， 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列． 从而an＝qn－1
.
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得
2a3＝3a2＋2，即2q＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0. 由已知，q>0，故q＝2. 所以an＝2
n－1
2
(n∈N).
n－1
*
8分
，
n－1
(2)证明：由(1)可知，an＝q2
y222
所以双曲线x－2＝1的离心率en＝1＋an＝1＋qan542
由e2＝1＋q＝解得q＝.
33因为1＋q2(k－1)
.
>q2(k－1)
，所以1＋q2k－1
>qk－1
(k∈N)．
*
qn－1
于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋q＝，
q－1
n－1
4－3
故e1＋e2＋…＋en>n－1. 3
4 / 4
nn16分
江苏专版高考数学二轮复习第2部分八大难点突破专项限时集训5复杂数列的通项公式与求和问题
