全等模型 —“一线三等角”

全等模型—“一线三等角”

一线三等角模型，顾名思议，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型贯穿初中几何的始终，在相似三角形这个章节中是很重要的知识点，下面来具体分析一下。1，等腰直角三角形一线三等角模型口诀：多个垂直先倒角相等，互余角少不了分析1：已知△OAB是等腰直角三角形，过点O作直线CD且AD⊥CD，BC⊥CD，由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形∴∠BOA=90°OB=OA即∠COB＋∠AOD=90°又因为AD⊥CD，BC⊥CD所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）则有∠COB=∠DAO∠CBO=∠AOD综上结论，则有在△BCO和△ODA中∠COB=∠DAOOB=OA（角边角）∠CBO=∠AOD因此△BCO≌△ODA分析2，已知△OAB是等腰直角三角形，做一条直线穿过∠BOA，AD⊥CD，BC⊥CD，如下图所示：由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形∴∠BOA=90°OB=OA即∠COB＋∠AOD=90°又因为AD⊥CD，BC⊥CD所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）则有∠COB=∠DAO，∠CBO=∠AOD综上结论，则有在△BCO和△ODA中，∠COB=∠DAO，OB=OA，∠CBO=∠AOD因此△BCO≌△ODA“一线三等角”全等模型——适用于直角的情况条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF.由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角），∠EAC＋∠ECA=90°，∠ABF＋∠BAF=90°，即∠ABF=∠EAC，在△ACE和△BAF中，∠ABF=∠EAC∠BFA=∠AEC（角角边）AC=BA因此：△ACE≌△BAF（AAS）则有：CE=AF，AE=BF，EF=CE＋BF．条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角）∠EAC＋∠ECA=90°∠ABF＋∠BAF=90°即∠ABF=∠EAC在△ACE和△BAF中∠ABF=∠EAC∠BFA=∠AECAC=BA因此：△ACE≌△BAF则有：CE=AF（角角边）（AAS）AE=BFEF=BF－EC【典例1】：已知，如图所示，B,C,E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD,则不正确的结论是（）A,∠A与∠D互为余角B,∠A=∠DCEC,△ABC≌△CEDD,∠ACB=∠DCE【答案】D【精准解析】由题意得因为AC⊥CD，所以∠ACD=90°，所以∠ACB＋∠DCE=90°故选择D又因为∠B=∠E=90°所以∠A＋∠ACB=90°∠D＋∠DCE=90°∠A=∠DCE∠ACB=∠D故B正确所以∠A＋∠D=90°故A正确再根据全等三角形判定定理得：AC=CD∠B=∠E∠A=∠DCE因此最终答案是D2，“一线三等角”全等模型的拓展——同时也适用于锐角和钝角的情况条件：∠CAE=∠B=∠D，AC=AE结论：△ABC≌△EDA由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°∠CAB＋∠B＋∠C=180°∵∠CAE=∠B∴∠C=∠EAD在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，因此△CAB≌△EAD（AAS）所以BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE