第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2016 年 9 月 17 日
一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的 半径分别为 R1 、R2 ，且两柱面外切；其剖面（平 面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各 自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点 O 为 直角坐标系 O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴，上侧柱面过切点 O 的母线为 Y 轴。一束在真空中波长为 ? 的可见光沿 Z 轴负
方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X-Y 平面的投影。 R1 和 R2 远大于傍轴光线 干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为 n0 ? 1.00 。试推导第 k 级亮纹在 X-Y 平面的 投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏） 介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折 射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为 π 的相位突变。b. sin x ? x, 当 x ?? 1 。
二、（20 分）某秋天清晨，气温为 4.0?C ，一加水员到 实验园区给一内径为 2.00 m 、高为 2.00 m 的圆柱形不 锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为 4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接 处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后， 加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水， 与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水 员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为 1.00 m 。
（1）从清晨到中午，气温缓慢升至 24.0?C ，问此时 观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。
（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空 气的热容量。
已 知 罐 外 气 压 始 终 为 标 准 大 气 压
p0?1.01?105pa, 水 在 4.0?C时 的 密 度 为
?0?1.00?103kg?m?3??水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为 ? ? 3.03 ? 10?4 K ?1，重力加速度
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大小为，绝对零度为 ?273.15?C.
三、（20 分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的 318 倍）。假设地球与木星均沿 圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其 它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为 ms 和 m j ，引力常量为 G 。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是 re 和 rj 。假设在某个时刻，地球与 太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为 ? 。这时若太阳质量突然变为零，求
（1）此时地球相对木星的速度大小 vej 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率 v0 。 （ 2 ）试讨 论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（ 1 ）中结果和数据 m ? 2.0 ? 1030 kg 、 s m 1.9 ?1027 kg 、木星公转周期 j T ? 12 y 。 j ?
g?9.80m?s?2四、（20 分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长 为 L 、质量为 m 、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性 绳的一端系在桥沿 b，绳的另一端系一质量为 M 的小物块（模拟蹦 极者）；假设 M 比 m 大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和 蹦极者的重力向下拉时会显著伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者 从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过
程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为 g 。 （1）求蹦极者从静止下落距离 y （ y ? L ）时的速度和加速度的 大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。 （2）求蹦极者从静止下落距离 y （ y ? L ）时，绳在其左端悬点 b 处张力的大小。
五、（20 分）一种拉伸传感器的示意图如图 a 所示：它 由一半径为 r2 的圆柱形塑 料棒和在上 面紧密缠绕 N （ N ?? 1 ）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为 r1 ， 外表面均匀涂有厚度为 t（ t ?? r1 ?? r2 ）、电阻率为 ? 的 石墨烯材料；传感器两端加有环形电极（与绳保持良好 接触）。未拉伸时，缠绕的绳可视为 N 个椭圆环挨在一 起放置；该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹 角为 ? （见图 a），相邻两圈绳之间的接触电阻为 Rc 。 现将整
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个传感器沿塑料棒轴向朝两端拉伸，绳间出现 n 个缝隙，每个缝隙中刚好有一整圈绳，这圈绳被自动调
节成由一个未封闭圆环和两段短直线段（与塑料棒轴线平行）串接而 成（见图 b）。假设拉伸前后 ? 、 r1 、 r2 、 ? 、 t 均不变。 （1）求拉伸后传感器的伸长率 ? （ ? 是传感器两电极之间距离的伸 长与其原长之比）和两环形电极间电阻的变化率；
（2）在传感器两环形电极间通入大小为 I 的电流，求此传感器在未 拉伸及拉伸后，在塑料棒轴线上离塑料棒中点 O 距离为 D （ D 远大于传感器长度）的 P 点（图中未画出）处沿轴向的磁感应强度。
已知：长半轴和短半轴的长度分别为 a 和 b 的椭圆的周长为
六、（20 分）光电倍增管是用来将光信号转 化为电信号并加以放大的装置，其结构如 图 a 所示：它主要由一个光阴极、n 个倍增 级和一个阳极构成；光阴极与第 1 倍增级、 各相邻倍增级及第 n 倍增级与阳极之间均 有电势差 V ；从光阴极逸出的电子称为光 电子，其中大部分（百分比? ）被收集到第 1 倍增级上，余下的被直接收集到阳极上；
每个被收集到第 i 倍增级（ i ? 1,?, n ）的电子在该电极上又使得 ? 个电子（ ? ? 1 )逸出；第 i 倍增 级上逸出的电子有大部分（百分比 ? ）被第 i ? 1 倍增级收集，其他被阳极收集；直至所有电子被 阳极收集，实现信号放大。已知电子电荷量绝对值为 e 。
（1）求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗，已知 ?? ? 1 ， n ?? 1 ；
（2） 为使尽可能多的电子从第 i 倍增级直接到达第 i ? 1 倍增级而非阳极，早期的光电倍增管中， 会施加垂直于电子运行轨迹所在平面（纸面）的匀强磁场。设倍增级的长度为 a 且相邻倍增级间 的几何位置如图 b 所示，倍增级间电势 差引起的电场很小可忽略。所施加的匀 强磁场应取什么方向以及磁感应强度大 小为多少时，才能使从第 i 倍增级垂直出 射的能量为 Ee 的电子中直 接打到第 i ? 1 倍增级的电子最多？磁感应强度大
?(3a?b?ab)2，其中b?0.
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第33届全国中学生物理竞赛复赛试题(题目word版)+答案
